دانلود تحقیق کلیات معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی

فصل 1.

کلیات معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی
1-مقدمه
یک معادله دیفرانسیل با مشتقات جزئی (یا نسبی) برای یک تابع رابطهای است که بین تابع مجهول u و متغیرهای مستقل آن (به تعداد متنابهی) و مشتقات جزئی تابع u نسبت به متغیرهای مستقل آن برقرار میباشد.

تابع u را جوابی برای معادله دیفرانسیل فوق مینامیم هرگاه پس لز جایگزینی u(x,y,...) و مشتقات جزئی آن، این معادله دیفرانسیل نسبت به متغیرهای مستقل مذکور، درناحیه ای از فضای این متغیرهای مستقل تبدیل به یک اتحاد شود.
مرتبه یک معادله دیفرانسیل با مشتقات جزئی بالاترین مرتبه مشتقات موجود در آن معادله است.

مثلاً uuxy+uyux=f(x,y) یک معادله دیفرانسیل مرتبه دوم است.

در اینجا و و
یک معادلعه دیفرانسیل با مشتقات جزئی را خطی گوئین هرگاه این معادله نسبت به تابع مجهول و مشتقات آن، با ضرایبی که فقط تابع متغیرهای مستقل هستند، خطی باشد.

یک معادله با مشتقات جرئی از مرتبه m را شبه خطی گوئیم هرگاه این معادله نسبت به مشتقات جزئی مرتبه mام تابع مجهول، با ضرایبی که فقط تابع متغیرهای مستقل u و مشتقات از مرتبه کمتر از m هستند، خطی باشد (مانند مثال بالا) یک معادله دیفرانسیل با مشتقات جزئی خطی یک حالت خاص معادله شبه خطی است.
2- معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی مرتبه اول
معادله دیفرانسیل با مشتقات جزئی مرتبه اول خطی با ضرایب ثابت
به عنوان گام نخست معادلع دیفرانسیل (2-1) aux+buy+cu=f(xy) را درنظر میگیریم، که در آن تابع f داده شده و ضرایب ثابتاند.

سعی میکنیم با تغییر متغیرهای ساده مانند (2-2) x=ay+a1 و y=by+b1 معادله دیفرانسیل با مشتقات جزئی (2-1) را به معادله دیفرانسیل ) uy+cu=f(ay+a1 , by +b1 تبدیل کنیم که مانند یک معادله دیفرانسیل معمولی خطی مرتبه اول با ضرایب ثابت نسبت به متغیر مستقل y حل میشود، منتها ثابت انتگرالگیری تابع دلخواهی از خواهد بود.

بعد از حل بجای y و برحسب x و y جانشین میکنیم تا جواب u(x,y) حاصل شود البته لازمه این کار آنست که دترمیبنال ضرایب تغییر متغیرهای (2-C) غیرصفر باشد، سعنی مستقل بودن این متغیرها تضمین شود (این دترمینال ژاکوبی تغییر متغیرها است)
مثال ا
قضیه زیر یک روش حل معادله با مشتقات جزئی مرتبه اول شبه خطی را پیش روی ما میگذارد که فعلاً از بیان آن خودداری میکنیم.

قضیه زیر یک روش حل معادله با مشتقات جزئی مرتبه اول شبه خطی را پیش روی ما میگذارد که فعلاً از بیان آن خودداری می‌کنیم.

قضیه 1 جولب عمومی معادلع دیفرانسیل با مشتقات جزئی مرتبه اول شبه خطی (2-3) P(x,y,u)ux+Q(x,y,u)uy=R(x,y,u) به صورت W=F(v) است که در آن F تابعی دلخواه است و V(x,y,u)=c1و W(x,y,u) جواب عمومی در معادله دیفرانسیل معمولی مرتبه اول (2-4) میباشد.

مثال 2: جواب عمومی معادله uux+yuy=x را بیابید حل دستگاه دو معادله دیفرانسیل معمولی مرتبه اول از روابط بدست می‌آیند مثال 1.

معادله دیفرانسیل با مشتقات جزئی مرتبه اول خطی زیر را حل کنید.

حل.

ابتدا با تغییر متغیرهای و معادله دیفرانسیل فوق را تبدیل می‌کنیم به صورت اکنون یک دستگاه تغییر متغیرهای دیگری بکار می بریم به صورت و که در آن ثابت فرض می‌شود، تا اینکه متغیرهای s و t مستقل باشند.

از اینجا نتیجه می‌شود که در آن تابع دلخواه ولی مشتق پذیر است.

در حالت خاص داریم 3.طبقه بندی معادلات با مشتقات جزئی مرتبه دوم نیمه خطی در این بخش خانواده معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی مرتبه دوم نیمه خطی با دو متغیر مستقل بصورت (3-1) را درنظر می‌گیریم که در آن تنها توابعی از x و y فرض می‌شوند.

این معادله را در نقطه از نوع هذلولیگون، سهمیگون، و یا بیضیگون گوئیم هرگاه عبارت به ترتیب مثبت، صفر، و یا منفی باشد.

معادله (3-1) را در یک ناحیه از صفحه xy از نوع هذلولیگون، سهمیگرون، و یا بیضیگون گ.ئیم هرگاه عبارت مذکور در سراسر آن ناحیه به ترتیب مثب، صفر، و یا منفی باشد.

اکنون تبدیل مختصات به صورت و را به قسمی جستجو می‌کنیم که معادله دیفرانسیل (3-1) را ساده تر نموده و در صورت امکان به طور صریح حل پذیر نماید.

فرض می کنیم تین تبدیل دارای عکس بوده و توابع و دارای مشتقات جرئی پیوسته تا مرتبه دوم باشند.

در این صورت و و اگر این عبارات را در (3-1) جانشین کنیم، معادله دیفرانسیل به صورت (3-2) به دست می آید که در آن و F* تابعی از و و نیست، اگر معادله دیفرانسیل (3-1) خطی باشد، آنگاه معادله دیفرانسیل (3-2) نیز خطی خواهد بود.

اگر بتوان مختصات جدید را طوری انتخاب نمود که صفر شود، آنگاه معادله جدید (3-2) ساده تر خواهد شد.

در این رابطه لم زیر را بیان می‌کنیم و اثبات آنرا به خاطر سادگی به خواننده واگذار می‌کنیم.

لم.

معادله با مشتقات جزئی مرتبه اول (3-3) دارای جوابی به صورت است و اگر و تنها اگر کعادله دیفرانسیل معمولی مرتبه اول (3-4) جوابی به صورت (منحنی‌های تراز رویه ) داشته باشد، که در آن C ثابت دلخواه است.

معادله دیفرانسیل (3-4) را معادله مشخصه (یا سرشت نمای) معادله دیفرانسیل با مشتقات جزئی (3-1) گویند، و هر جواب آنرا یک مشخصه معادله (3-1) مینامنداز (3-4) دو معادله حاصل می‌شود به سهولت می توان درستی تساوی زیر را نشان داد.

که از آن تغییرناپذیری نوع معادله (3-1) در اثر تبدیل مختصات فوق به وضوح دیده یم شود.

همچنین در نقاط متفاوت ناحیه تعریف معادله 03-1)، این معادله ممکن است از انواع مختلف باشد.

حال یک ناحیه G از صفحه را اختیار می‌کنیم که در تمام نقاط آن معادله (3-1) از یک نوع باشد و درون G را ناتهی فرض می‌نمائیم.

از هر نقطه ناحیه درون G دو مشخصه عبور می‌کند که برای یک معادله دیفرانسیل از نوع هذلولیگون، این دو حقیقی و تمایزاند، برای نوع سهمیگون.

این دو حقیقی و یکسان اند و برای نوع بیضیگون موهومی و متمایزاند.

هریک از حالات فوق را جداگانه مورد بررسی قرار میدهیم.

الف) برای معادله دیفرانسیل نوع هذلولیگون (حالت )، عبارات سمت راست معادلات (3-5) حقیقی و متمایزاند.

جوابهای (انتگرالهای) عمومی و از این معادلات یک مجموعه حقیقی از مشخصه‌ها را تعیین می‌نماید.

در حالتی که و همزمان صفر نباشد قرار می‌دهیم و معادله دیفرانسیل (3-2) اکنون با تقسیم طرفین بر ضریب که غیر صفر است (چرا؟) به صورت زیر درمی‌آید (3-6) که فرم کانوئیک یک معادله از نوع هذلولیگو نامیده می‌شود.

اگر ضرایب و همزمان صفر باشند، آنگاه از ابتدا فرم کانونیک را داریم (ب) برای معادله‌ای از نوع سهمیگون (حالت ) معادلات (3-5) یکسان‌اند و تنها ک جواب (انتگرال) عموم یکتا از این معادلات به صورت بدست می‌آید.

در این حالت قرار میدهیم و سپس را به دلخواه طوری اختیار می‌کنیم که مستقل از بوده، اما به اندازه کافی هموار باشد چون: ، با این انتخاب متغیرهای جدید خواهیم داشت: (تحقیق کنید).

با تقسیم طرفین (3-2) بر ضریب که غیر صفر است (چرا؟)، فرم کانوئیک برای یک معادله از نوع سهمیگون به صورت (3-7) بدست می آید.

بویژه اگر در این معادله ظاهر نشود، می‌توان آنرا مانند یک معادله دیفرانسیلی معمول حل نمود.

(پ) برای معادله‌ای از نوع بیضیگون (حالت ) عبارات سمت راست (3-5) مقادیر مختلف متمایز مزدوج یگدیگراند، بنابراین اگر ،‌آنگاه که در آن مزدوج مختلط است.

برای پرهیز از محاسبات با توابه مختلط، متغیرهای جدید حقیقی و را به صورت و معرفی میکنیم.

که در این صورت .

لذا چون از اینجا نتیجه می‌شود که قسمتهای حقیقی و موهومی سمت چپ رابطه اخیر هر دو باید صفر باشند.

بنابراین نسبت به متغیرهای جدیدتر – مستقل - و داریم چون (چرا؟)، پس از تقسیم طرفین معادله (3-2) (البته نسبت به متغیرهای جدیدتر و ) بر ضریب ، این معادله دیفرانسیل به صورت زیر درمی‌آید مثال 1 معادله دیفرانسیل را درنظر می‌گیریم.

رابطه نشان می‌دهد که معادله دیفرانسیل در ربع اول و سوم صفحه xy از نوع هذلولیگول و در ربع دوم و چهارم از نوع بیضیگون است که در آن محورها را از هر ربع صفحه حذف نموده‌ایم.

حالت سهمیگون تنها روی محورهای مختصات پیش می‌آید که مورد توجه نیست زیرا محورها یک ناحیه دوبعدی را در صفحه تشکیل نمی‌دهد.

از معادله مشخصه بدست می‌آوریم ، یعنی در ربع اول .

پس دو خانواده مشخصه‌ها عبارتند از: که در آن و ثابتهای اختیاری‌اند.

بنابراین متغیرهای جدید را می‌توان به صورت و در ربع اول انتخاب نمود.بدست اوردن فرم کانونیک معادله دیفرانسیل با این تغییر متغیرها به خواننده واگذار می ود برای بدست آوردن فرم کانونیک در ربع دوم، معادله مشخصه را به صورت زیر درمی‌آوریم.

، یعنی لذا دو دسته مشخصه‌ها عبارتند از: پس متغیرهای جدید حقیقی را به صورت زیر تعریف می‌کنیم.

با این تغییر متغیرها معادله دیفرانسیل به صورت جدید زیر درمی‌آید (تحقیق کنید) مثال 2 معادله دیفرانسیل با مشتقات جزئی مرتبه دوم خطی از نوع سهمیگون است زیرا پس معادلع دیفرانسیل مشخصه به صورت درمی‌آید، و تنها یک دسته مشخصه را داریم.

همانطور که گفته شد باید متغیرهای جدید به صورت و تابع دلخواه از x و y انتخاب شوند به قسمی که مستقل از هم باشند.

با محاسباتی نظیر بالا اگر قرار دهیم ، آنگاه شرط مستقل بودن توابع و برقرار بوده و در این صورت با دو بار تابع اولیه گرفتن از ان رابطه نسبت به مقدار و سپس مقدار u(x,y) تعیین می‌شود.

تمرینات فصل 1 1.

معادله دیفرانسیل با مشتقات جزئی مرتبه اول خطی را حل کنید، (الف) با استفاده از قضیه بخش 2، (ب) با استفاده از تغییر متغیرهای و و تبدیل معادله دیفرانسیل به معادله دیفرانسیل خطی با ضرایب ثابت و سپس حل آن 2.

معادله دیفرانسیل با مشتقات جزئی مرتبه اول را حل کنید، (الف) با استفاده از قضیه بخش 2، (ب) با استفاده از تغییر متغیرهای و و تبدیل معادله دیفرانسیل به معادله دیفرانسیل خطی با ضرایب ثابت و سپس حل آن 3.

به ازای چه مقادیری از x و y هر یک از معادلات زیر از نوع هذلیگون، سهمیگون و یا بیضیگون هستند؟

صورت کنونیک هر یک را تعیین نمائید.

الف) ب) 4.

معادلات زیر را حل کنید الف) ب) پ) 5.

نشان دهید که با جایگزینی ، معادله دیفرانسیل با مشتقات جزئی مرتبه دوم به صورت درمی‌آید.

مثال 3 فرض کنید در هر نقطه یک خمدر صفحه XY، مقادیر u و ux و uy معلوم باشند، که در آن u جوابی از معدله دیفرانسیل مرتبه دوم نیمه خطی است.

تعیین نمائید در چه شرایطی مشتقات مرتبه دوم uxx و uxy و uyy را می‌توان در نقاط محاسبه نمود و در چه شرایطی نمی‌توان حل، فرض کنیم خم دارای معادله باشد که در آن S پارامتر خم و طول قوس خم از ابتدای آن است.

همچنین معالدله خم را مشتق پذیر فرض می‌کنیم چون ux و uy در امتداد خم معلوم هستند، مشتق این توابع در امتداد خم موجود فرض می‌کنیم.

در این صورت طرفهای راست روابط معلوم‌اند.

برای اینکه بتوان و را محاسبه نمود، لازم و کافی است که دترمینال ضرایب دستگاه سه معادله با سه مجهول مخالف صفر باشد: و این به معنی آنست که معادلات خم از منحنی های مشخصه نباشد.

فصل دوم معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی مرتبه د وم خطی هذلولیگون (با دو متغیر مستقل) 4-معادله موج یک بعدی در ضمیمه I معادله دیفراتنسیل موج یک بعدی به صورت (4-1) استخراج گردیده است که حرکت یک تارکشان یکنواخت با چگالی جرمی ثابت و نیروی کشش تار ثابت در یک صفحه قائم را نمایش میدهد، که در آن ، و F نیروی خارجی وارد بر سیستم است.

با مقایسه(8-1) یا (3-1) دیده‌می‌شود که ،‌و .

لذا معادله دیفرانسیل (4-1) از نوع هذلولیگون است.

معادله مشخصه آن عبارتست از و دو خانواده خطوط (یا منحنی‌های) مشخصه به صورت و میباشند.

لذا برای ساده تر شدن (رسیدن به فرم کانونیک) و یا حل معادله (8-1) می‌توان از تغییر متغیرهای و استفاده نمود.

بنابر قاعده زنجیری داریم و لذا از (8-1) نتیجه می‌شود.

(4-2) که در آن ، اگر مستقل از و باشد، آنگاه فط تابعی از و خواهد بود.

در اینصورت با دو بار تابع اولیه گرفتن از (4-2) یکبار نسبت به و یکبار نسبت به جواب عمومی معادله دیفرانسیل (4-2) و از آنجا جواب عمومی معادله دیفرانسیل بدست می‌آید.

اینک معادله دیفرانسیل (4-1) بدون دخالت نیروی خارجی ، یعنی در حالت همگن را درنظر گرفته و سه مسئله در مورد آن، اولی برروی یک خط حقیقی، دومی بر یک نیم خط، و سومی بر یک قطعه خط مطرح مینمائیم.

الف) مسئله مقدار اولیه موج یک بعدی را برروی خط درنظر می‌گیریم.

بنا بر (4-1) و (4-2) از معادله دیفرانسیل (4-3) نتیجه می‌شود که در آن p و q توابع مشتقپذیرد دلخواهی هستند.

بنابراین اگر قرار است که u جوابی از معادله دیفرانسیل موج یک بعدی همگن (4-3) باشد باید (4-4) که جواب عمومی معادله دیفرانسیل با مشتقات جزئی خطی و همگن در 04-3) است.

این جواب اولین بار بوسیله دالامبر در 1747 بدست‌آمد.

اگر زمان t را به عنوان یک پارامتر درنظر بگیریم، تبدیل یک انتقال دستگاه مختصات لحظه صفر را به طرف چپ به اندازه at نشان می‌دهد.

چون این انتقال متناسب با زمان است،