دانلود تحقیق تعاریف و ویژگی‌های بنیادی توابع مثلثاتی

1.1.

اندازه کمان بر حسب رادیان، دایره مثلثاتی
دانش‌آموزان اولین چیزی را که در مطالعه توابع مثلثاتی باید بخاطر داشته باشند این است که شناسه‌های (متغیرهای) این توابع عبارت از اعداد حقیقی هستند.

بررسی عباراتی نظیر sin1، cos15، (نه عبارات sin10، cos150،) ، cos (sin1) گاهی اوقات به نظر دانشجویان دوره‌های پیشدانگاهی مشکل می‌رسد.

با ملاحظه توابع کمانی مفهوم تابع مثلثاتی نیز تعمیم داده می‌شود.

در این بررسی دانش‌آموزان با کمانی‌هایی مواجه خواهند شد که اندازه آن‌ها ممکن است بر حسب هر عددی از درجات هم منفی و هم مثبت بیان شود.

مرحله اساسی بعدی عبارت از این است که اندازه درجه (اندازه شصت قسمتی) به اندازه رادیان که اندازه‌ای معمولی‌تر است تبدیل می‌شود.

در حقیقت تقسیم یک دور دایره به 360 قسمت (درجه) یک روش سنتی است.

اندازه زاویه‌ها برحسب رادیان بر اندازه طول کمان‌های دایره وابسته است.

در اینجا واحد اندازه‌گیری یک رادیان است که عبارت از اندازه یک زاویه مرکزی است.

این زاویه به کمانی نگاه می‌کند که طول آن برابر شعاع همان دایره است.

بدین ترتیب اندازه یک زاویه بر حسب رادیان عبارت از نسبت طول کمان مقابل به زاویه بر شعاع دایره‌ای است که زاویه مطروحه در آن یک زاویه مرکزی است.

اندازه زاویه برحسب رادیان را اندازه دوار زاویه نیز می‌گویند.

از آنجا که محیط دایره‌ای به شعاع واحد برابر است از اینرو طول کمان برابر رادیان خواهد بود.

در نتیجه برابر رادیان خواهد شد.

مثال1-1-1- کمانی به اندازه یک رادیان برابر چند درجه است؟

جواب: تناسب زیر را می‌نویسیم:
اگر باشد آنگاه یا را خواهیم داشت.

مثال 2-1-1 کمانی به اندازه رادیان برابر چند درجه است؟

حل: اگر و باشد آنگاه

2- دایره مثلثاتی.

در ملاحظه اندازه یک کمان چه بر حسب درجه و چه برحسب رادیان آگاهی از جهت مسیر کمان از نقطه مبدا A1 به نقطه A2 حائز اهمیت است.

مسیر کمان از نقطه مبدأ به نقطه مقصد در جهت خلاف حرکت عقربه‌های ساعت معمولاً مثبت در نظر گرفته می‌شود.

در حالیکه در جهت حرکت عقربه‌های ساعت منفی منظور می‌شود.

معمولاً انتهای سمت راست قطر افقی دایره مثلثاتی به عنوان نقطه مبدأ اختیار می‌شود.

نقطه مبدأ دایره دارای مختصات (1,0) خواهد بود.

آن را بصورت A=A(1,0) نشان می‌دهیم.

همچنین نقاط D,C,B از این دایره را بترتیب با مختصات B=(0,1)، C=(-1,0)، D=(0,-1) داریم.

دایره مثلثاتی را با S نشان می‌دهیم.

طبق آنچه که ذکر شد چنین داریم:


3- پیچش محور حقیقی به دور دایره مثلثاتی.

در تئوری توابع مثلثاتی نگاشت از R مجموعه اعداد حقیقی روی دایره مثلثاتی که با شرایط زیر انجام می‌شود نقش اساسی را ایفا می‌کند:
(1) عدد t=0 روی محور اعداد حقیقی با نقطه : A همراه می‌شود.

(2) اگر باشد آنگاه در دایره مثلثاتی نقطه را به عنوان نقطه مبدا کمان AP1 در نظر گرفته و بر محیط دایره مسیری به طول T را در جهت مثبت اختیار می‌کنیم، نقطه مقصد این مسیر را با Pt نشان داده و عدد t را با نقطه Pt روی دایره مثلثاتی همراه می‌کنیم.

یا به عبارت دیگر نقطه Pt تصویر نقطه A=P0 خواهد بود وقتی که صفحه مختصاتی حول مبدا مختصاتی به اندازه t رادیان چرخانده شود.

(3) اگر باشد آنگاه با شروع از نقطه A بر محیط دایره در جهت منفی، مسیری به طول را مشخص می‌کنیم.

فرض کنید که Pt نقطه مقصد این مسیر را نشان دهد و نقطه‌ای متناظر به عدد منفی t باشد.

همانطوریکه ملاحظه شد جوهره نگاشت : P این نکته را می‌رساند که نیم‌محور مثبت اعداد حقیقی در جهت مثبت بر روی S می‌خوابد؛ در حالیکه نیم‌محور منفی اعداد حقیقی در جهت منفی بر روی S می‌خوابد.

این نگاشت بک‌بیک نیست: اگر به عدد متناظر باشد یعنی اگر F=P باشد آنگاه این نقطه نیز به اعداد متناظر خواهد بود: در حقیقت با افزودن مسیری با طول (در جهت مثبت و یا در جهت منفی) به مسیری به طول t مجدداً به نقطه F خواهیم رسید.

نگاره وارون کامل P-1(Pt) نقطه Pt با مجموعه تطابق دارد.

توجه: عدد t معمولاً با نقطه pt که متناظر به این عدد است یکی در نظر گرفته می‌شود، با این حال مسائل باید به موضوع مطروحه نیز توجه کرد.

مثال4-1-1- همه اعداد را که متناظر به نقطه با مختصات است تحت نگاشت P بدست آورید.

حل: بدلیل رابطه زیر نقطه F عملا روی S قرار دارد: فرض می‌کنیم که Y,X پای عمودهای مرسوم از نقطه F بر روی محورهای مختصاتی OX و OY باشند (شکل 3).

آنگاه بوده و XFO مثلث متساوی‌‌الساقین قائم‌الزاویه خواهد بود: بدین ترتیب اندازه کمان AF برابر بوده و به نقطه F فقط اعداد متناظر می‌شود.

یک تابع متناوب دارای دورهای تناوب نامتناهی است؛ به اینصورت که بر اساس دوره تناوب T و به ازاء هر عددی بصورت که در آن به صورت یک عدد صحیح است تابع دارای یک دوره تناوب می‌شود.

کوچکترین دوره تناوب مثبت یک تابع متناوب را دوره تناوب بنیادی می‌نامند.

قضیه1-1.

توابع و با دوره تناوب بنیادی متناوب هستند.

قضیه 2-1.

توابع و با دوره‌ تناوب بنیادی متناوب هستند.

برهان قضایای 1-1 و 1-2 را با استفاده از نمودارهای سینوس، کسینوس، تانژانت و کتانژانت، و نیز به کمک دایره مثلثاتی می‌توان بطور عادی اثبات کرد.

برای اعداد حقیقی فقط یک نقطه PX روی دایره مثلثاتی متناظر است از اینرو این اعداد دارای سینوس‌ها و کسینوس‌های یکسانی هستند.

در همان حال هیچ عدد مثبت کوچکتر از نمی‌تواند دوره تناوب توابع باشد.

در حقیقت اگر T دوره تناوب COSx باشد آنگاه cos T=cos (0+t)=cos0=1 خواهد بود.

از اینرو به عدد T نقطه Pt با مختصات (1,0) متناظر بوده و در نتیجه عدد T دارای شکل خواهد بود؛ و بدلیل مثبت بودن آن را داریم.

بطریق مشابه اگر T دوره تناوب تابع sin x باشد آنگاه بوده و به عدد نقطه با مختصات (0.1) متناظر می‌شود.

از اینرو یا یعنی را خواهیم داشت.

برای اثبات قضیه 2-1 به این نکته توجه می‌کنیم که نقاط به ازاء t نسبت به مبدا متقارن خواهند بود (عدد نیمدور از محیط دایره مثلثاتی را نشان می‌دهد) بنابراین مختصات نقاط pt+و pt از نظر قدر مطلق برابر بوده و دارای علائم مختلف خواهند بود.

یعنی خواهیم داشت.

بنابراین دوره تناوب tan t و cot t محسوب می‌شود.

مثال 1-3-1: دوره تناوب بنیادی تابع f(t)= cos t +sin t را بیابید.

حل: بدلیل رابطه تابع / متناوب است: هیچ عدد مثبت T کوچکتر از بدلیل دوره تناوب تابع f(t) محسوب نمی‌شود.

در حقیقت اعداد و مخالف صفر بوده و علائم مختلفی دارند و اعداد و بر هم منطبق بوده و از اینرو داریم: 2- زوج بودن و فرد بودن.

بخاطر داشته باشید که تابع f در صورتی زوج خوانده می‌شود که به ازاء هر x حوزه تعریف آن -x نیز به آن حوزه متعلق بوده و تساوی F(-x)=-f(x) برقرار باشد.

تابع f در صورتی فرد خوانده می‌شود که تحت همان شرایط بالا تساوی F(-x)=-f(x) برقرار می‌شود.

یک جفت مثال در مورد توابع زوج بصورت و یک جفت مثال در مورد توابع فرد را می‌توان بصورت ارائه داد.

توجه داشته باشید که بسیاری از توابع فرد و نه زوج هستند.

به عنوان مثال تابع بدلیل اینکه به ازاء و است روج محسوب نمی‌شود.

بطریق مشابه بدلیل تابع x فرد نیز نیست.

قضیه 3-1.

توابع sinx، tanx، cotx، فرد و تابع cos x زوج است.

برهان: کمان‌های APT و AP-T را در دایره مثلثاتی که دارای جها مخالف و اندازه‌های مساوی هستند در نظر می‌گیریم (شکل 11) این کمانها نسبت به محور طول‌ها متقارن بودهخ و از اینرو نقاط انتهایی آنها یعنی PT(COSt, sin t), p-t(cos (-t), sin (-t) دارای طول‌های مساوی و عرض‌های متقابل هستند؛ یعنی: cos –(t)=cos t, sin (-t)=-sin(-t) در نتیجه تابع sint فرد و تابع cot t زوج خواهد بودد از این گذشته طبق تعریف تانژانت و کتانژانت با شرط در اینجا نیز چنین داریم: Tan(-t)= و با شرایط (در اینجا نیز است داریم: بدین ترتیب توابع tan t و cot t نیز فرد محسوب می‌شوند.

مثال4-3-1.

ثابت کنید تابع (t)= sin3 2t cos4t +tan 5t فرد است.

اثبات.

توجه دارید که به ازاء هر t از حوزه تعریف تابع ( یعنی با شرط .چنین داریم: 3- یکنواختی.

تابع f که دربازه x تعریف شده در صورتی در این بازه افزایشی صعودی خوانده می‌شود که به ازاء هرگونه اعدادی مانند با شرط نامساوی برقرار باشد؛ و اگر بین این مقادیر تابع نامساوی ضعیف، یعنی برقرار باشد آنگاه تابع f در بازه x ناافزایشی خوانده می‌شود.

تعریف باتع کاهشی و تابع ناکاهشی نیز بطریق مشابه قابل ارائه است.

ویژگیهای افزایشی یا کاهشی بودن یک تابع یکنوای آن تابع نیز نامیده می‌شود.

بازه‌ای که در آن تابعی افزایش یا کاهش پیدا می‌کند بازه یکنوایی آن تابع خوانده می‌شود.

یکنوایی توابع sin t و cos t را مورد بررسی قرار می‌دهیم.

بر روی دایره مثلثاتی و در جهت مخالف حرکت عقربه‌های ساعت (یعنی در جهت مثبت) نقطه pt با حرکت از نقطه A=P0 به سوی نقطه (0,1) نمو پیدا کرده و به سمت چپ تغییر مکان می‌دهد.

یعنی با افزایش T عرض نقطه نیز افزایش می‌یاید، در حالیکه طول آن کاهش می‌یابد.

عوض PT مساوی SIN T از 0 تا 1 افزایش می‌یابد و تابع cos t نیز از 1 تا 0 کاهش پیدا می‌کند.

قضیه 4-1.

در بازه تابع sin t از 0 تا 1 افزایش می‌یابد، در حالیکه تابع cos t از 1 تا 0 کاهش پیدا می‌کند.

در بازه تابع sin t از 1 تا 0 و تابع cos t از 0 تا -1 کاهش می‌یابد.

در بازه تابع sin t از 0 تا -1 کاهش و تابع cos t از -1 تا 0 افزایش پیدا می‌کنند.

در بازه تابع sin t از -1 تا 0 و تابع cos t از 0 تا 1 افزایش می‌یابد.

برهان: استدلال این قضیه بصورت نموداری ارائه شده است.

در این اشکل نقاط در صدق می‌کنند.

قضیه5-1.

تابع tan t در بازه افزایش و تابع cot t در بازه کاهش می‌یابد.

برهان: تابع tan t را مورد ملاحظه قرار می‌دهیم.

نشان می‌دهیم که به ازاء هرگونه اعدادی بصورت t1 و t2 که در صدق می‌کند نامساوی برقرار است.

سه حالت مورد ملاحظه قرار می‌دهیم: آنگاه براساس قضیه 1.4 چنین داریم: از اینجا نتیجه می‌شود.

بنابراینخواهد بود..

در این حالت و .

بوده و از اینرو خواهد بود.

طبق قضیه 1.4.

داریم: بنابراین یعنی حاصل می‌شود.

اثبات حکم مربوط به cot t نیز بطریق مشابه انجام می‌گیرد.

مثال 5-3-1.

ثابت کنید توابع sin(cos t) و cos(sin t) در بازه کاهش می‌یابند.

برهان: اگر طبق باشد آنگاه بر اساس قضیه 1.4 خواهد بود.

توجه داریم که نقاطی از محیط دایره مثلثاتی متناظر به اعداد sin t1, sin t2, cos t1, cos t2 در ناحیه اول قرار دارند.

دلیل امر این است که این اعداد در بازه بسته قرار داشته و است.

بنابراین می‌توان مجدداً قضیه 1.4 را بکار گرفت که به موجب آن به ازاء هر اعدادی مانند و با شرط نامساوی‌های زیر متقاعد می‌شوند: یعنی sin(cos t) و cos(sin t) در بازه توابعی کاهشی هستند.

4- رابطه بین توابع مثلثاتی یک شناسه (متغیر).

اگر به ازاء مقدار معینی از متغیر مثلثاتی مربوط به آن معلوم باشد تحت شرایط معینی می‌توان مقادیر دیگر توابع مثلثاتی آن متغیر را بدست آورد.

با تقسیم طرفین این اتحاد بر cos2 t (با شرط ) چنین بدست می‌آید: (1.10) در این رابطه است.

با استفاده از این اتحاد می‌توان مقدار tan t را محاسبه کرد با این شرط که مقدار cos t را نیز می‌توان با معلوم بودن مقدار tan t و علامت cos t محاسبه کرد.

4-1.

حل توابع مثلثاتی ساده.

توابع مثلثاثی معکوس.

حل معادله ARE SINE.

SIN T= M.

برای حل معادلاتی به شکل SIN T=M لازم است که همه اعداد حقیقی مانند T را طوری بیاییم که عرض نقطه pt متناظر به آنها برابر m باشد.

برای انجام این کار خط مستقیم y=m را رسم کرده و نقاط تلاقی آن را با دایره مثلثاتی بدست می‌آوریم.

معادلات و دستگاه‌های معادلات مثلثاتی 1-3.

کلیات برای حل معادلات مثلثاتی روش کلی وجود ندارد و در هر مورد خاص تبدیلات و فرمول‌های معینی باید بکار گرفته شود.

مثال 1-1-3.

معادله زیر را حل کنید: Sinx+7cosx+7=0 در نتیجه معادله زیر حاصل می‌شود: این معادله با و در نتیجه با هم ارز است.

با این چون فرمول‌های جایگذاری عمومی فقط به ازاء xهایی که را تعریف‌پذیر می‌سازند یعنی فقط به ازاء ، کاربرد پذیراند از اینرو استدلال فوق نادرست است.

2-3.

روش‌های اصلی در حل معادلات مثلثاتی حل معادلات مثلثاتی از طریق تحویل آنها به معادلات جبری، این روش وسیعاً مورد استفاده قرار می‌گیرد و در آن معادله اصلی به معادله‌ای به شکل (3.4) تحویل می‌یابد.

در این معادله f(x) یک چند جمله‌ای و f(t) یک تابع مثلثاتی است.

اگر x1, x2, ….,xm ریشه‌های چند جمله‌ای F یعنی اگر F=(X1)=0, F(X2)=0,…,F(XM)=0 باشد آنگاه معادله تبدیل یافته (3.4) به m معادله ساده تجزیه می‌شود: مثال1-2-3.

معادله زیر را حل کنید: Cos 2t- 5sin t-3=0 حل، طبق فرمول (2.39) چنین داریم: 1-2 sin2 t-5sin-3=0 یا 2 sin2t + 5sint +2=0 با منظور کردن