دانلود مقاله برنامه‌ریزی خطی

برنامه‌ریزی خطی
منظور از اثرات مستقیم، همان ضرایب علیت یا ضریب همبستگی جزئی هر صفت با عملکرد در صورت ثابت بودن صفات دیگر است.

در جدول 3 مجموع اثرات مستقیم و غیرمستقیم در هر یک از ردیف‌های جدول برابر ضریب همبستگی صفت با عملکرد خواهد بود.

در بین پنج صفت طول برگ پرچم، عرض برگ پرچم، طول پانیکول، پانیکول تا رسیدگی و تعداد دانه در پانیکول، بیشترین ضریب همبستگی بر روی عملکرد مربوط به تعداد دانه در پانیکول با 906/0 بود.

کمترین ضریب همبستگی بر روی عملکرد مربوط به طول برگ پرچم با 434/0 به خود اختصاص داده بود.

بیشترین اثر مستقیم را بر روی عملکرد، تعداد دانه در پانیکول با 724/0 داشت.

کمترین اثر مستقیم را بر روی عملکرد، عرض برگ پرچم با 164/0- داشت.

بیشترین اثر غیرمستقیم طول برگ پرچم از طریق تعداد دانه در پانیکول است و بین تعداد دانه در پانیکول با طول برگ پرچم ارتباط مثبتی وجود دارد، یعنی با افزایش تعداد در پانیکول، طول برگ پرچم بیشتر و باعث شده که عملکرد افزایش یابد.

بیشترین اثر غیرمستقیم عرض برگ پرچم از طریق تعداد دانه در پانیکول بدست آمده است.

لذا با افزایش تعداد دانه در پانیکول، عرض برگ پرچم بیشتر و در نهایت سبب افزایش عملکرد شد.

این مورد با نتایج ضرایب همبستگی مطابقت دارد، چرا که ضریب همبستگی صفات عرض برگ پرچم و تعداد دانه در پانیکول 502/0 است.

بیشترین اثر غیرمستقیم طول پانیکول از طریق تعداد دانه در پانیکول بوده.

بنابراین با افزایش تعداد دانه در پانیکول، طول پانیکول بیشتر و عملکرد بیشتر گردید.

این مورد نیز با نتایج ضرایب همبستگی مطابقت دارد، زیرا ضریب همبستگی صفات طول پانیکول و تعداد دانه در پانیکول 611/0 است.

بیشترین اثر غیرمستقیم پانیکول تا رسیدن از طریق تعداد دانه در پانیکول بوده است، اما با افزایش تعداد دانه در پانیکول، پانیکول تا رسیدگی کمتر و نیز سبب کاهش عملکرد شد.

این مورد نیز همچون گذشته با نتایج ضرایب همبستگی مطابقت دارد، چرا که ضریب همبستگی پانیکول تا رسیدگی و تعداد دانه در پانیکول 4/0- است.

بیشترین اثر غیرمستقیم تعداد دانه در پانیکول، از طریق پانیکول تا رسیدگی بود.

تمرین
1-1 یک کارخانه خوراک دام برای گاو، گوسفند و طیور خود خوراک تهیه می‌کند.

این خوراک با ترکیب مواد اصلی زیر تهیه می‌شود: ذرت، سنگ آهک، دانه سویا و پودر ماهی.

این مواد شامل ترکیبات مغذی زیر است: ویتامین‌ها، پروتئین، کلسیم و چربی خام.

میزان این ترکیبات در هر کیلوگرم از مواد اصلی در جدول زیر خلاصه می‌شود:
مواد مغذی
مواد اصلی ویتامین‌ها پروتئین کلسیم چربی خاک
ذرت 8 10 6 8
سنگ آهک 6 54 10 6
دانه سویا 10 12 6 6
پودر ماهی 4 8 6 9

کارخانه برای تولید 10، 6 و 8 تن (در واحد متریک) خوراک گاو، گوسفند و طیور قرارداد بسته است.

به دلیل کمبود، مقدار محدودی از مواد، یعنی 6 تن ذرت، 10 تن سنگ آهک، 4 تن دانه سویا و 5 تن پودر ماهی موجود است.

قیمت هر کیلوگرم از این مواد به ترتیب 20/0، 12/0، 24/0 و 12/0 دلار است.

حداقل و حداکثر واحدهای ترکیبی مواد مختلف مغذی در هر کیلوگرم خوراک گاو، گوسفند و طیور در جدول زیر خلاصه شده است:
این مساله را طوری فرمول‌بندی کنید که کل هزینه مینیمم شود.

کارکنان فنی یک بیمارستان تصمیم دارند سیستم غذایی، کامپیوتری آن بیمارستان را توسعه دهند.

ابتدا برنامه غذایی ناهار را بررسی می‌کنند.

برنامه غذایی ناهار به سه گروه اصلی تقسیم می‌شود: سبزیجات، گوشت و دسر.

در هر سفارش حداقل یک سرویس از هر گروه تقاضا می‌شود.

هزینه هر سرویس از اقلام پیشنهادی به علاوه ترکیبات هیدروکربن‌ها، ویتامین‌ها، پروتئین‌ها و چربی در جدول زیر خلاصه می‌شود: فرض کنید که حداقل هیدروکربن‌ها، ویتامین‌ها، پروتئین‌ها و چربی‌های مورد نیاز در هر وعده غذا به ترتیب 5، 10، 10 و 2 است.

الف) مساله برنام غذایی را به صورت برنامه‌ریزی خطی فرمول‌بندی کنید.

ب) بسیاری از جنبه‌های واقعی این مدل نادیده گرفته شده است.

این جنبه‌ها شامل برنامه‌ریزی صبحانه، ناهار و شام با هم، برنامه‌ریزی هفتگی که در آن انواع غذاها استفاده شود و برنامه غذایی ویژه بیماران، رژیم غذایی خاص، در مورد اینکه چگونه می‌توانیم این جنبه‌ها را در یک سیستم ویژه غذایی جامع تلفیق کنیم.

به تفضیل بحث کنید.

مساله تعیین مکان نصب یک ماشین جدید را در یک خط تولید شامل چهار ماشین درنظر بگیرید.

این ماشین‌ها در مختصات x1, x2 زیر تعبیه شده‌اند: فرض کنید مختصات ماشین جدید است.

مساله یافتن بهترین مکان نصب ماشین جدید را در هر یک از حالت‌های زیر به صورت برنامه خطی فرمول‌بندی کنید.

الف) مجموع تفاضل ماشین جدید از چهار ماشین مینیمم است، فاصله خیابانی را بکار ببرید، مثلاً فاصله نقطه از ماشین اول |x1-3|+|x2| است.

ب) به علت وجود جریان‌های مختلف مابین ماشین جدید و ماشین‌های قبلی مساله را وقتی مجموع فواصل وزین مینیمم می‌شود، تجدید فرمول کنید، به طوری که اوزان متناظر با چهار ماشین به ترتیب 5، 7، 3 و 1 باشد.

ج) برای جلوگیری از تراکم ماشین‌ها، فرض کنید بخواهیم ماشین جدید در مربع نصب کنیم.

قسمت‌های الف و ب را با این محدودیت اضافه فرمول‌بندی کنید.

د) فرض کنید بخواهیم ماشین را طوری نصب کنیم که فاصله آن از ماشین اول از 2/3 بیشتر نشود و مساله را با این محدودیت اضافی فرمول‌بندی کنید.

مساله پرتاب یک راکت به ارتفاع ثابت b در زمان مفروض T را که کمترین مقدار سوخت را مصرف می‌کند، درنظر بگیرید.

فرض کنید u(t) قدرت شتاب فرار راکت و y(t) ارتفاع آن در زمان t باشد.

مساله را می‌توان چنین فرمول‌بندی کرد: که در آن g نیروی شتاب ثقل و y مشتق دوم ارتفاع y است.

مساله را به شکل گسسته بنویسید و آن را به صورت یک برنامه خطی فرمول‌بندی کنید.

به ویژه مساله را در T=10 و g=32 و b=15 فرمول‌بندی کنید (راهنمایی: انتگرال با مجموع سره و مشتقات را با معادلات تفاضلی عوض کنید.

تغییر متغیر |uj|=xj را اعمال کنید و توجه کنید که xi≥-uj, xi≥uj ).

شرکتی می‌خواهد برای دو فقره از تولیداتش با توجه به تقاضاهای فصلی برای مدت 12 ماه برنامه‌ریزی کند.

تقاضای ماهیانه فقره یک صد هزار واحد در طول ماه‌های اکتبر، نوامبر و دسامبر، ده هزار واحد در طول ماه‌های ژانویه، فوریه، مارس و آوریل.

سی‌ هزار واحد در طول ماه‌های باقیمانده.

تقاضای فقره 2 در طول ماه‌های اکتبر تا فوریه 50000 واحد و 15000 واحد در طول ماه‌های باقیمانده است.

فرض کنید که هزینه تولید فقرخ 1 و 2، به ترتیب 5 و 8 دلار است، به شرطی که آنها قبل از ماه ژوئن تولید شده باشند.

بعد از ماه ژوئن، به علت اصلاح سیستم تولید، هزینه دو فقره به 5/4 و 7 دلار کاهش می‌یابد.

تعداد کل اقلام تولیدی فقره 1 و 2 هر ماه در فاصله زمانی بین ماه‌های ژانویه ـ سپتامبر حداکثر 120000 و بین ماه‌های اکتبر ـ دسامبر حداکثر 150000 است.

علاوه بر این، هر واحد از فقره 1 دو فوت مکعب و هر واحد فقره 2 چهار فوت مکعب از فضای انبار را اشغال می‌کند.

فرض کنید که ماکزیمم فضای انبار که به این دو فقره می‌توان اختصاص داد، 150000 فوت مکعب است و هزینه نگهداری هر فوت مکعب در طول ماه 1/0 دلار است.

مساله زمانبندی تولید را طوری فرمول‌بندی کنید که کل هزینه و انبارداری مینیمم شود.

یک کارخانه نساجی پنج نوع پارچه تولید می‌کند.

تقاضا (بر حسب هزار یارد) در طول سه ماه سال برای این نوع پارچه به ترتیب 16، 48، 21 و 82 است.

این پنج نوع پارچه پس از بافت و دسته‌بندی در بازار هر یارد به ترتیب به قیمت 9/0، 8/0، 8/0، 2/1 و 6/0 دلار فروخته می‌شود.

علاوه بر تولید و بسته‌بندی در خود کارخانه، پارچه‌ها از خارج کارخانه نیز خریداری می‌شود و قبل از فروش در خود کارخانه بسته‌بندی می‌شود.

اگر پارچه‌های بسته‌بندی نشده از خارج کارخانه خریداری شوند، هزینه پنج نوع پارچه هر یارد 8/0، 7/0، 75/0، 9/0 و 7/0 دلار است.

اگر در خود کارخانه تولید شود، هر یارد به ترتیب 6/0، 5/0، 6/0، 7/0 و 3/0 دلار هزینه برمی‌دارد.

دو نوع دستگاه در کارخانه وجود دارد که می‌توانند پارچه تولید کند.

یعنی 10 دستگاه Dobbie و 80 دستگاه عادی.

میزان تولید هر دستگاه Dobbie در ساعت برای پنج پارچه به ترتیب 6/4، 6/4، 2/5، 8/3 و 2/4 یارد است.

دستگاه عادی به همان میزان دستگاه Dobbie تولید دارد، فقط پارچه‌ای نوع 3، 4 و 5 را می‌تواند تولید کند.

با فرض اینکه کارخانه هفت روز هفته و هر روز هم 24 ساعت کار می‌کند، مساله برنامه‌ریزی بهینه برای برآورد تقاضای بازار برای سه ماه در سال را به صورت خطی فرمول‌بندی کنید.

آیا فرمول‌بندی شما یک مساله حمل و نقل است؟

اگر نه، مساله را به صورت یک مساله حمل و نقل دوباره فرمول‌بندی کنید.

شخصی 2200 دلار را می‌خواهد در پنج سال آینده سرمایه‌گذاری کند.

در شروع هر سال او می‌تواند پولش را برای یک دوره یک ساله یا دو ساله به حساب بگذارد.

بانک 8 درصد سود به ازای هر سال سپرده و 17 درصد (در کل) برای دو سال سپرده می‌پردازد.

به علاوه، شرکتی برای سه سال سود تضمینی پیشنهاد می‌کند که شروع آن در شروع سال دوم است.

این تضمین شامل 27 درصد (در کل) است و اگر این شخص موجودی‌اش را هر سال سرمایه‌گذاری کند، یک برنامه خطی ارائه دهید تا به او نشان دهد چگونه باید سرمایه‌گذاری کند تا در سال پنجم پول نقدش ماکزیمم گردد.

یک کارخانه فولادسازی تیرآهن به شکل I را در چهار اندازه کوچک، متوسط، بزرگ و خیلی بزرگ تولید می‌کند.

هر یک از ماشین‌های B, A و C می‌تواند این تیرآهن‌ها را تولید کند.

طول تیرآهن‌های تولیدی توسط ماشین‌ها در هر ساعت چنین خلاصه می‌شود: با فرض اینکه از هر ماشین تا 50 ساعت در هفته می‌توان استفاده کرد و نیز هزینه هر ساعت کار این ماشین‌ها، به ترتیب 30، 50 و 80 دلار است.

علاوه بر این با فرض اینکه 10000، 8000، 6000 و 6000 فوت از اندازه‌های مختلف تیر I در هر هفته لازم است.

مساله زمان‌بندی ماشین را به صورت برنامه‌ریزی خطی فرمول‌بندی کند.

یک شرکت دو نوع پنیر تولید می‌کند: پنیر سوئیسی و پنیر تند.

شرکت 60 کارگر مجرب دارد و می‌خواهد تعداد نیروی کار خود را به 90 کارگر در طول 8 هفته آینده افزایش دهد.

هر کارگر مجرب می‌تواند سه کارگر تازه استخدام جدید را در یک دوره 2 هفته‌ای آموزش دهد که در طول این مدت کارگران آموزش دهنده چیزی تولید نمی‌کنند.

تولید 10 پوند پنیر سوئیسی یک ساعت و تولید 6 پوند پنیر تند نیز یک ساعت وقت می‌گیرد.

یک هفته کاری چهل ساعت است.

تقاضای هفتگی (بر حسب 1000 پوند) چنین خلاصه می‌شود: فرض کنید هر کارگر کارآموز همان حقوق کارگر مجرب را دریافت کند.

علاوه بر این، فرض کنید تاریخ مصرف پنیرها یک هفته باشد.

شرکت چگونه باید دستمزد بپردازد و نیروهای جدید را آموزش دهد تا هزینه دستمزدها کمترین شود؟

مساله را به صورت برنامه خطی فرمول‌بندی کند.

یک میله فولادی به طول 36 اینچ داریم و با کمک یک دستگاه برش می‌خواهیم قطر آن را از 14 اینچ به 12 اینچ برسانیم.

x1 سرعت دورانی (دور در دقیقه)، x2 سرعت عمقی (اینچ در دقیقه) و x3 سرعت طولی‌ (اینچ در دقیقه) کمیت‌های موردنظر هستند که باید مشخص شوند.

مدت زمان برش با رابطه داده می‌شود.

تراکم و فشار کنارز وارد بر دستگاه برش به ترتیب با رابطه 30x1+4000x2 و 40x1+6000x2+6000x3 پوند بر اینچ مربع است.

درجه حرارت تیغه برش بر حسب فارنهایت (x2+x3)150+x15/0+200 است.

ماکزیمم تراکم، فشار کناری و درجه حرارت مجاز به ترتیب 150000 و 100000 هر اینچ مربع و 800 درجه فارنهایت است.

می‌خواهیم سرعت (که باید در فاصله 600 تا 800 دور در هر دقیقه باشد)، عمق برش و طول برشرا تعیین کنیم، به طوری که زمان برش مینیمم شود.

برای بکارگیری یک مدل خطی تقریب زیر ارائه می‌شود.

چون مینیمم است، اگر و فقط اگر x2x3 ماکزیمم باشد، تابع هدف با ماکزیمم مینیمم x2 و x3 جایگزین می‌کنیم.

مساله را به صورت یک مدل خطی فرمول‌بندی کنید و درستی تقریب بکار رفته در تابع هدف را بررسی کنید.

پالایشگاهی می‌تواند دو نوع نفت خریداری کند: نفت خام سفید و نفت خام سنگین.

هزینه هر بشکه به ترتیب 11 و 9 دلار است.

محصول گازوئیل، نفت سفید و سوخهت هواپیمای تولیدی از هر بشکه مطابق جدول زیر است: قابل توجه است که در هنگام فرآیند پالایش به ترتیب 5 و 8 درصد آنها هدر می‌رود.

پالایشگاه برای تحویل 1 میلیون بشکه گازوئیل، 400000 بشکه نفت سفید و 250000 بشکه سوخت هواپیما قراردادی امضا کرده است.

مساله یافتن تعداد بشکه‌های دو نوع نفت خاک را برای برآوردن تقاضا و مینیمم‌سازی کل هزینه به صورت یک مدل خطی فرمول‌بندی کنید.

شرکتی مونتاژ محصولی را برعهده دارد که شامل قاب، میله فلزی و بلبرینگ است.

شرکت میله فلزی و قاب را خود تولید می‌کند، اما بلبرینگ را از تولید کننده دیگری خریداری می‌کند.

هر میله فلزی باید مراحل