دانلود تحقیق ریاضیات مهندسی پیشرفته

آنالیز فوریه
تابع f(x) را تابع متناوب یا دوره ای می گوئیم (Periodic foretion) هرگاه عددی مثل 2L پیدا شود به قسمی که داشته باشیم f(x) = f(x + 2L)
2L f(x) = f(x + 2L)
2L = 2x Exampel : Sin x , Cos x
2L = x Exampel : tog x , Cot x





اگر توابعی متناوب باشند ولی Sin x و Cos x نیستند با استفاده از سری فوریه این توابع متناوب غیر سینوسی و غیر کسینوسی را بر حسب توابع سینوسی و کسینوسی به دست می آوریم .

به عنوان مثال :







Sin x dx = Sin x dx = 0

Cos x dx = 2 Cos x dx =0

Sin mx .

Cos nx dx = m, n به ازای هر

Sin mx .

Sin nx dx =

Cos mx .

Cos nx dx =

نکته : حاصلضرب هر عدد طبیعی 2L می شود دوره تناوب آن تابع

2L n(2L)
f(x) = Sinx Sinx = Sin(x + 2 ) = Sin(x + 2n )

به ازای n = 1 دوره به دست ‌آمده را دوره تناوب اصلی یا اساسی می گویند .

Sin mx دوره تناوب :
Sin 2Lx دوره تناوب :

X(- , ) t = ( - L , L)

Sin x Sin x dx

Sin x .

Sin x dx =


c هر عدد حقیقی می تواند باشد ولی برای سادگی c را برابر صفر یا -L در نظر می گیریم .

جای تذکر این است که جواب مسئله نصف دوره تناوب است در این جا 2L است, نصف آن L است و در مواردی نیز یعنی در سینوس و کسینوس 2 بوده که نصف آن می باشد .

Cos x .

Cos x dx =

Sin x .

Cos x dx = 0

= v1 I + v2 j + v3 k = u1 I + u2 j + u3 k
.

= Cos .

= u1v1 + u2 v2 + u3 v3

.

=

اگر بردار v بر بردار u عمود باشد مقدار صفر است یا تعبیر هندسی این که v بر u عمود است یا تصویر v بر بردار u یک نقطه است .

u v .

= 0


u .

u = 2 =

Sin nx , Cos mx Sin ix .

Cos jx (x) = n

1 =
2 =

(x) .

(x) dx = 0
این مجموعه توابع متعامد هستند


(x) dx = N نرم تابع

برای به دست آوردن بردار یکه توابع 1 , 2 داریم :

orthonomal مجموعه توابع یکه

به عنوان مثال مجموعه توابع یکه Sin x عبارتند از :



I و j و k را می توان پایه های یک مختصات سه بعدی هستند بردارهای یکه I و j و k مستقل از هم هستند یعنی نمی توان بر حسب همدیگر به دست ‌آورد, به عبارتی یکی را نمی توان بر حسب دیگری محاسبه نمود و به دست آورد .

نسبت مقدار تابع (مقدار ثابت), پس استقلال خطی دارد یعنی نمی توان پایه های مختصات یک دستگاه در نظر گرفت .

f(x) = + (an Cos x + bn Sin x )
رابطه بالا سری فوریه تابع f(x) نامیده می شود .

ضرایب اولیه فوریه :
A0 = f(x) dx = f(x) dx
An = f(x) Cos x dx = f(x) Cos x dx
Bn = f(x) Sin x dx = f(x) Sin x dx

f(x) = + (an Cos x + bn Sin x )
f(x) = + a1 Cos x + a2 Cos x + …… + an Cos x + …… + b1 Sin x
+ b2 Sin x + b3 Sin x + ……..

+ bn x + ……
از طرفین انتگرال می گیریم .

الف : f(x) dx = dx + a1 Cos x dx + a2 Cos x dx
+ …… + an Cos xdx + ……+ b1 Sin x dx

+ …….

+ b2 Sin x dx + …….

+ bn Sin x dx
+ …….

f (x) dx = x = = .

2L = La0

a0 = f (x) dx
a0 دو برابر مقدار میانگین تابع f (x) از بازه -L تا L تابع می باشد .

F (x) = f (x) dx



طرفین رابطه را در x Cos ضرب می کنیم :

f(x) Cos x dx = Cos x dx + a1 Cos x Cos x dx
+ a2 Cos x Cos x dx + ……………….

+ an Cos x Cos xdx + ………………….

+ b1 Sin x Cos x dx
+ b2 Sin x Cos x dx + ……………….

+ bn Sin x Cos x dx + ………………..

an .

L an f (x) Cos x dx

برای به دست آوردن رابطه شماره 4 طرفین را به x Sin ضرب می کنیم و انتگرال می گیریم .

f (x) Sin x dx = Sin x dx + a1 Cos x Sin x dx
+ a2 Cos x Sin x dx + ……………………
+ an Cos x Sin x dx + ……………………
+ b1 Sin x Sin x dx
+ b2 Sin x Sin x dx + …………………….

+ bn Sin x

f (x) =




دوره تناوب 2L = - (- ) = 2 L =
A0 = - dx + x dx = - = - (0 – (- ) ) +
a0 = -1 +

an = f (x) Cos x dx = -1 .

( Cos x ) dx + x Cos xdx

an = - Cos n x dx + x Cox nx dx


an = - Sin nx
= ( Cos n - 1 ) = =

an = n odd به ازای

bn = -1 Sin nx dx = x Sin nx dx
= Cos nx
= - Cos = +
f (x) =

نکته : بسط توابع زوج شامل جملات کسینوسی است .

Piecewise Continvovs fonction (p .

c) تابع پیوسته قطعه ائی
تابع f(x) را در بازه باز یا بسته a و b پیوسته قطعه ائی گوئیم هرگاه بتوان بازه a و b را به زیر بازه های کوچکتری تقسیم یا افراز کرد به قسمی که :
الف : f(x) در هر کدام از زیر بازه ها پیوسته باشد .

ب : حدچپ و حدراست f(x) در هر یک از زیر بازه ها مقدار معین یا محدودی باشد یا به عبارتی مقدار حد موجود باشد
به عنوان مثال اگر تابع زیر را در نظر بگیریم :


1 : f(x) =

تابع فوق در هر یک از زیر بازه ها وجود دارد ولی وقتی حد آن به یک میل می کند حد چپ و راست با هم برابر نیستند پس ما نمی توانیم برای آن سری فوریه به دست آوریم .

f(x) = -22 نکته : تفاضل حد چپ و حد راست تابع در یک نقطه تابع می گویند R .

H .

L -L .

L = J Sing le – Valued تابع تک ارزشی یا تک مقدار تابع f (x) را تابع تک ارزشی گویند هرگاه به ازای هر m متعلق به دامنه تابع فقط یک مقدار به f(x) به دست آید اگر به ازای x چندین مقدار به f(x) به دست آید گفته می شود تابع چند ارزشی است .

( y2 = x ) قضیه : اگر f(x) یک تابع متناوب تک ارزشی و به طور قطعی پیوسته باشد آنگاه سری فوریه متناظر بر نقاط پیوستگی به خود ( f(x) = F(x) و در نقاط نا پیوستگی به میانگین حد چپ و راست تابع میل می کند .

نکته :به ازای یک نقطه, سری به نقطه ای میل می کند, به این همگرائی point wise می گوئیم یا به عبارتی می گوئیم سری به طور نقطه ائی همگرا است .

= 0 0 سری به طور میانگین همگرا است .

F(x) F(x) = Sinnx به ازای = x داریم : = (2n +1) + Si حال نقطه ای را در نظر می گیریم تابع در آنجا پیوسته نیست پس طبق قضیه دیر باید تابع به مقدار میانگین میل کند یعنی : - 1 + 0 قضیه 1 : اگر f (x) یک تابع متناوب با دوره تناوب 2L تک ارزشی و به طور قطعه ائی پیوسته باشد در صورتی که f(x) تابع زوج باشد (نمودار آن نسبت به محور قائم دارای تقارن است ) آنگاه سری فوریه متناظر این تابع فقط شامل جملات کسینوس خواهد بود ضرائب از روابط زیر به دست می آیند .

f(x) = bn = 0 an = n = 0 , 1 , 2 , …..

چون این سری شامل جملات کسینوسی است معروف به سری فوریه کسینوسی است (Fooriers Cosine Series) چون از تابع در نصف دوره تناوب انتگرال می گیریم به سری فوریه نیمه دامنه کسینوسی نیز می گویند .

(Holf – range Expansion ) قضیه 2 : اگر f(x) یک تابع متناوب با دوره تناوب 2L, تک ارزشی و به پیوسته و فرد باشد أنگاه سریر فوریه متناظر این تابع فقط شامل جملات سینوس خواهد بود روابط اولر فوریه به صورت زیر در می آید F(x) = Bn = 0 Bn = چون این سری شامل جملات سینوسی است معروف به سری فوریه سینوسی است چون از تابع در نصف دوره تناوب انتگرال می گیریم به سری فوریه نیمه دامنه سینوسی نیز معروف است .

ما می توانیم برای تابع هر نوع سری فوریه بنویسیم که عبارتند از سری فوریه, سری سینوسی فوریه, سری کسینوس فوریه مثال : F(x) = 2L = a0 = x dx + 0 dx = .

= an = x Cos x dx = x Cos 2nx dx = = bn = n Sin 2n x dx = = - سری فوریه تابع علارت است از : f(x) = Sin 2nx حال برای این تابع سری کسینوسی و سری سینوسی می نویسیم در سری کسینوسی از جملات سینوسی وجود ندارد و در سری سینوسی جملات کسینوسی وجود ندارد .

برای نوشتن فوریه تابع را نسبت به مختصات قرینه اش را پیدا می کنیم .

F(x) = 2L = 2 L = دوره تناوب بردار 2 است , برای تابع فرد فقط ضریب bn داریم : F(x) f(-x) = -f(x) A0 = 0 Bn = f(x) Sin ndx = (x Sin nxdx + 0 Sin nx dx ) = (- Cos nx + Sin nx ) = Cos = Sin = F(x) = Sin nx برای نوشتن سری کسینوسی قرینه تابع را نسبت به محور قائم به دست می آوریم .

باز دوره تناوب برابر 2 است .

F(x) = an = f(x) Cos xdx an= x Cos nx dx = = a0 = xdx = x2 = f(x) = مثال : برای تابع فوق سری فوریه و سری سینوسی فوریه و سری کسینوسی فوریه را بنویسید : F(x) = 2L = 2 L = a0 = f(x) dx = ((x +) dx + dx) = (+ x+ x) = +1 an = f(x) Cos xdx = ((x+) Cosnxdx + Cos nxdx ) (x+) Cos nx + 1 Sin nx an=(Sinnx+Cosx+Sinnx ) - Cos nx an = (- Cos ) = (1- Cos n) an = bn = f(x) Sin xdx = ( (x+) Sin nxdx + Sinnxdx ) ( x+ ) Sin nx + 1 - Cos nx bn= (-Cos x + Sinnx-Cosnx) 0 - Sin nx bn= (-.

1+ 0 - Cos + ) bn = -- (Cos n - 1 ) = - (+(-1)n –1 )) f(x) = + Cos nx - (+((-1)n –1)) Sin nx یا Cos (2n –1) x برای نوشتن سری سینوسی فوریه تابع را نسبت به محور مختصات قرینه اش