دانلود مقاله جین باتپیست جوزف فوریه

جین باتپیست جوزف فوریه :
متولد : 21 مارس 1768 در اکسر ،‌پورگن فرانسه
وفات : 16 می 1830 در پاریس فرانسه
پدر جوزف فوریه، در اکسر خیاط بود.

پس از درگذشت زن اول ، او سه فرزند داشت.

او دوباره ازدواج کرد.

جوزف نهمین فرزند از دوازده فرزندش در ازدواج دوم بود.

وقتی جوزف سه سال داشت،‌مادرش در گذشت و پدر خود را نیز سال بعد از دست داد.

اولین مدسه او در مدرسه پالایز بود – در این هنگام او با رهبر موزیک کلیسای جامع همراه شده بود.

در آنجا جوزف لاتین و فرانسه را یاد گرفت و با خود عهد بزرگی بست.

در سال 1780 به «اِکُلْ رویال میلیاتر اکسر» رهسپار شد.

مکانی که برای اولین بار استعدادش را در آثار ادبی نشان داد.

اما خیلی زود در سن سیزده سالگی، ریاضی علاقه واقعی او شد.

در سن چهارده‌سالگی او تحصیلات خود را تا کلاس ششم در رشته ریاضیات کامل کرد.در سال 1783 او جایزه اول مدرسه «باسوت» در رشته خودش، یعنی مکانیک عمومی دریافت کرد.

در سال 1787 جوزف تصمیم گرفت تا به دنبال روحانیت برود و به همین منظور به عنوان راهب وارد صومعه نبت کتین شد.

علاقه او به ریاضیات ادامه داشت به هر حال او با ال- سی پونارد استاد ریاضی در اکسر مکاتبه می کرد.

اما فوریه مطمئن نبود که تصمیم درستی در مورد روحانیت گرفته است یا خیر.

او یک نامه در حیره به مونتا کلا پاریس تسلیم کرد.

او در نامه خود به بونارد پیشنهاد کرد که قصد دارد برخورد جدی با ریاضی بکند.

او در این نامه نوشت :
دیروز تولد 21 سالگی من بود و در آن سن نیوتن و پاسکال دستاوردهای فناناپذیری را بدست آوردند.

فوریه ، صومعه را درسال 1789 ترک کرد از پاریس دیدن کرد و نامه‌ای از آکادمی عالی علمی در معادلات جبری می خواند.

در سال 1790 او معلم « بندیکتاین کالج» در اکل رویال میلیاتر اکسر همان جایی که درس خوانده بود شد و تا آن زمان یک کشمکش درونی در فوریه در این مورد وجود داشت که آیا او باید یک فرد مذهبی باشد یا یک محقق ریاضی به هر جهت در سال 1793 سومین عنصر(عامل) به کشمکش‌های او اضافه شد .

زمانی که او وارد سیاست شد و به کمیته انقلابی علمی پیوست.

او نوشت :
بر طبق قانون پیشرفته تساوی در طبیعت ممکن است که تصویر کنیم این عمل مافوق انسانی باشد که یک دولت معاف از کشیش و شاه باشد و خاک اروپا از بند یوغی دوبله که زمانی بسیار طولانی است و آن را در بر گرفته است، آزاد شود .

من زمانیکه می خوانم ،‌ شیفته این عمل هستم.

در نظر من بزرگترین و زیباترین ملت ها چنین ملتی است حتی اگر زیر بار فشارها باشد.

فوریه از تروری که نتیجه انقلاب فرانسه شد، ناراحت شد و تلاش کرد تا از کمیته استعفا دهد به هر جهت این امر غیر ممکن بود و فوریه الان کاملاً با انقلاب گرفتار شده است و نمی تواند از ان رهایی یابد.

انقلاب یک کار کاملاً پیچیده‌ای از خیلی جها ت است با اهدافی کاملاً مشابه و عملکردی شدید متقابل با هم .

فوریه از اعضا حمایت کرد به نظر می رسد فوریه از سکوی ویژه‌ای از درون مردم برخواسته است و به خوبی می تواند صحبت کند و اگر او بماند خواهد دید که جامعه اکسر بدون هیچ نگرانی خواهد بود.

این رویداد نتایج جدی داشت اما بعد از آن فوریه به اکسر برگشت و به کار در کمیته انقلابی و تدریس در دانشگاه ادامه داد .

در جولای 1794 او دستگیر شد و به خاطر واقعه اولئان به زندان افتاد .

اما پس از چندی – تغییر سیاست منجر به آزادی او شد.

در سال 1794 جوزف برای مطالعه در ایکول نرمالی در پاریس کاندید شد.

این مؤسسه برای تربیت معلمان وضع شد و قصد داشت یک روش دیگری برای تربیت معلمان در مدرسه بکار برد .

این مدرسه در جولای 1795 باز شد و فوریه مطمئناً شاگرد توانایی بود.

او از لاگرانژ چیزهای زیادی آموخته بود، لاگرانژ در آن زمان فوریه را اینطور توصیف می کرد :‌ اولین دانشمند مرد اروپا و همچنین لاپلاس کسی که برای فوریه بهای زیادی گذاشت و همین طور منگ که فوریه در باره او می گوید : دانشمندی متکبر با صدای بلند و فعال است.

فوریه در کالج فرانسه شروع به درس دادن کرد و رابطه‌اش با لاپلاس و منگ در تحقیقات ریاضی‌ شروع شد.

منگ اسم مدرسه را به ایکل پلی تکنیک تغییر داد .

در اول سپتامبر 1795 فوریه در ایکل پلی تکنیک در حال درس دادن بود.

در سال 1797 موفق شد لاگرانژ را به استادی آنالیز و مکانیک منصوب کند او به یک استاد برجسته و مشهور تبدیل شده بود.

در سال 1798 فوریه به ارتش ناپلئون در هجوم به مصر مثل یک دانشمند آگاهی دهنده پیوست منگ و ملوس نیز قسمتی از این نیروی هیدئت اعزامی بودند.

این هیئت اعزامی یک موفقیت بزرگ بود.

فوریه یک انجمن پلی تکنیک در فرانسه به کار انداخت و او امیدوار بود که یک آموزش و پروش روانی در مصر تأسیس کند و یک اکتشاف باستان شناسی انجام دهد.

فوریه یک انجمن مخفی انتخاب کرد این انجمن برای او یک موقعیت بود و تا وقتی مصر در تصرف تمام فرانسه است، با این انجمن است .

ناپلئون ارتش را ترک کرد و به پاریس برگشت .

در سال 1801 فوریه با نیروی اعزامی مانده در مصر به فرانسه برگشت.

در این زمان فوریه پستش را به عنوان پروفسور آنالیز در ایکل پلی تکنیک از سر گرفت .

اما ناراحت بود از اینکه فرهنگستان جهان و پاریس را ترک کند در حالی که نمی توانست در خواست ناپلئون را رد کند و به جرمونل رفت ،جایی که کارش از فرمانده هم بیشتر بود.

دو موفقیت بزرگ او یکی در وضعیت اداری – سرپرستی کردن اداره آبگذر در باتلاق برکوئین بود و دیگری رسیدگی به کار ساختمانی در بزرگراه جدیدی بود از جرنونل تا تدوین.

او وقت زیادی صرف کشور مصر کرد.

طی این مدت فوریه روی ریاضیات مهمش کار می کرد.

قضیه گرما که کار روی این موضوع را اطراف سال‌های 1804 تا 1807 شروع کرد.او قضیه مهمش را روی تکثیر گرما در اجسام جامد کامل کرد.

اما کمیته از این بایت احساس، ناراحتی می کردند و دو اعتراض به کار او داشتند :
اعتراض اول :
- بسط تابع فوریه از سری مثلثات توسط لاگرانژ و لاپلاس که امروزه سری فوریه، نامیده می شود البته فوریه به روشنی و به وضوح آنها را متقاعد کرد که شکست خورده‌اند.

همه نوشته ها به روشنی با مثال وجود داشتند.

دومین موضوع « استفاده کردن معادله انتقال دادن گرما :
فوریه به کاغذ بیوت 1804 به عنوان مرجع درست دست رسی نداشت اما کاغذ بیوست حتماً غلط است لاپلاس و پواسون شبیه این موضوع را داشتند.

انجمن در سال 1811 جایزه مسابقه‌ای را که موضوع آن تکثیر گرما در اجسام جامد بود را برای فوریه فرستاد به عنوان جایزه ریاضیات
فوریه در سال 1807 نظریه‌اش را به همه ارائه داد البته او روی خنک کردن جسم جامد محدود از جنس خاک و گرمای شعاعی نیز بسیار کار کرد.

مقدمات 1-1 تعریف : توابع قطعه‌ای پیوسته فرض کنیم تابع در همه نقاط بازه باز و محدود جز احتمالاً مجموعه‌ای متناهی از نقاط پیوسته باشد که در آن : اگر قرار دهیم و آنگاه تابع در هر یک از زیربازه‌های باز پیوسته است .

در نقاط انتهایی لزوماً پیوسته نیست یا حتی تعریف نشده است.

اما اگردر هریک از زیر بازه‌ها وقتی x از داخل به نقاط انتهایی میل کند.

دارای حد متناهی باشد ،‌گوئیم در بازه به صورت قطعه‌ای پیوسته است.

دقیق تر این است حدود یکطرفه : وجود داشته باشند.

اگر در نقاط انتهایی یک جزء بازه ، حد f را وقتی از داخل آن جزء به انتهای آن میل می کند نسبت دهیم ،‌آنگاه f در زیر بازه بسته پیوسته است.

چون هر تابع که در بازه بسته و محدودی پیوسته باشد محدود است.

پس می توان گفت f در تمام بازه محدود است یعنی عدد مثبتی مانند M هست که برای همه نقاط )( که در آن f تعریف شده است.

داریم مثال : تابع در بازه پیوسته است .

اما قطعه‌ پیوسته نیست زیرا موجود نیست.

اگر تابعی در بازه بسته پیوسته باشد.

آنگاه در بازه باز قطعه‌ای پیوسته است اما مثال فوق نیز نشان داده است که پیوستگی در بازه باز مستلزم پیوستگی قطعه به قطعه در آن نیست.

اگر تابع f در بازه قطعه به قطعه پیوسته باشد، همیشه انتگرال از تا وجود دارد.

انتگرال آن برابر است با مجموع انتگرال‌های بر جزء بازه‌های بازی که f در آن ها پیوسته است.

اولین انتگرال در سمت راست موجود است چون انتگرال تابعی پیوسته در تعریف شده است که اگر مقدار انتگرال است و در نقاط و مقادیر آن به ترتیب و است .

باقی انتگرال‌ها در سمت راست نیز به همین نحو تعریف شده و موجود هستند.

مثال : فرض کنید و نمودار آن به شکل زیر می باشد.

در این صورت خواهیم داشت : همان طور که مشاهده می شود مقادیر f در نقاط انتهایی تأثیری در مقدار انتگرال بر هر یک از جزء بازه‌ها ندارند .

د واقع تابع در تعریف نشده است.

اگر دو تابع و هر یک در بازه قطعه‌ای پیوسته باشند ، آنگاه قسمتی از بازه موجود هست بطوریکه که در هر زیر بازه بسته، چنانچه مقدار هریک از توابع را در هر نقطه انتهایی زیر بازه، ‌مقدار حدی آن تابع از داخل زیربازه تعریف کنیم ، هر دو تابع در ان زیر بازه بسته، پیوسته خواهند بود.

پس هر ترکیب خطی مانند یا حاصلضرب در هر زیر بازه دارای آن پیوستگی است.

و دربازه قطعه به قطعه پیوسته است.

پس انتگرال های تابع های و و همگی در ان بازه موجودند.

چون هر ترکیب خطی از توابع قطعه به قطعه پیوسته ، دارای آن خاصیت است می توان دسته همه توابع قطعه‌ای پیوسته که در بازه‌ای مانند تعریف شده‌اند.

یک فضای تابعی بنامیم و با نمایش می دهیم.

فضاهای تابعی دیگری در نظریه سری‌های فوریه مطرح می شوند.

در بررسی سری فوریه از مقدماتی ترین مفاهیم آنالیز ریاضی استفاده می کنیم جز وقتی که خلاف آن گفته شود.

وقتی می گویند تابع در بازه‌ای قطعه به قطعه پیوسته است، باید دانست که بازه محدود است و مفهوم قطعه به قطعه پیوسته بودن بدون توجه به اینکه بازه باز یا بسته است به کار می‌رود.

2-1 حاصلضرب های داخلی ومجموعه های متعامد : فرض کنیم f و g نمایش دو تابع باشند که روی بازه بسته و محدود پیوسته است.

این بازه را به N زیر بازه با طولهای مساوی تقسیم کرده و فرض می‌کنیم.

نقطه دلخواهی در زیر بازه k ام باشد.

در این صورت می توان گفت وقتی N بزرگ است.

تفاوت در این جا نمایش تساوی تقریبی است یعنی (1) که در ان : , پس سمت چپ عبارت (1) تقریباً مساوی است با حاصلضرب داخلی دو بردار در فضای N بعدی، وقتی N بزرگ می باشد، در واقع وقتی N به سمت میل می کند آن تقریب در حد، دقیق می شود پس با توجه یه این مطالب یک حاصلضرب داخلی از توابع f و g را به صورت ذیل تعریف می کنیم : (2) اگر توابع f و g بر بازه قطعه‌ای پیوسته باشند ، این حاصلضرب داخلی خوش تعریف است بازه را که توابع و حاصلضرب های داخلی آنها روی آن تعریف شده‌اند، بازه اصلی می نامند.

بنابراین با استفاده از رابطه (2) یک حاصلضرب داخلی از هر دو تابع f و g در فضای تابعی می توان تعریف کرد.

فضای تابعی با ضرب داخلی (2) مشابه فضای سه بعدی معمولی است.

برای هر تابع f و g و h در روابط زیر که نظیر خواص معمولی بردارها در فضای سه بعدی است برقرارند.

(3) (4) (5) که در ان عدد C ثابتی دلخواه می باشد و این شباهت را با تعریف نرم تابع f در ادامه می دهیم : (6) فرم تفاضل f و g (7) در واقع می‌توان گفت نرم تفاضل f و g اندازه‌ای برای فاصله بین نمودارهای مقدار میانگین به عبارت دقیق‌تر مربع‌های فواصل قائم بین نقاط روی نمودارها بر بازه است.

مقدار را انحراف میانگین مجذورات توابع f و g از یکدیگر می نامند.

دو تابع f و g در متعامدند هر گاه : (8) همچنین اگر تابع را تراز شده می نامند .

تعامد دو تابع f و g چیزی در مورد عمود بودن ارائه نمی دهد.اما در عوض مشخص می شود که حاصلضرب f.g دربازه اصلی،‌مقادیر منفی و مثبت را طوری می گیرد که رابطه (8) برقرار باشد.

مجموعه