حدود70 سال پیش، اروین شرودینگر نام Verschrankung را به طبیعت همبستگی کوانتومی اطلاق کرد ] Sch35 .[ درز بان محاوره آلمانی برای مردم غیرفیزیکدان این اصطلاح به معنای " مچ انداختن " کار می رود.
این واژه درزبان انگلیسی Entanglement و درزبان فارسی در هم تنیدگی ترجمه شده است که درمعنای ضمنی خود رساتر می باشد .
در هم تنیدگی کوانتومی ، نخستین بار در سال 1935 ، توسط انیشتن و همکارانش پادولسکی و روزن1 ، ] EPR35 [ به طور جدی مورد بحث قرار گرفت .
ایده این دانشمندان به صورت پارادوکسی با حروف اول اسامی آنها یعنی EPR معروف شده است .
این خاصیت در سالهای اولیه پیدایش به صورت یک معما بود ، زیرا وجود حالت های درهم تنیده ، پدیده های غیر کلاسیکی را تولید می کند .
در آن زمان وضعیت و غیر موضعی بودن سیستم های کوانتومی در هم تنیده ، موضوع اختلاف انیشتن و همکارانش از یک طرف و طرفداران مکتب کپنهاگی از سوی دیگر بود .
اما اکثر فیزیکدانان نمی توانستند دلایل موجود در مقاله EPR در رد مکانیک کوانتومی را بپذیرند.
تا اینکه در دهه 1960 ، یک آزمایش تجربی برای تحقیق درستی یا نادرستی نظریه EPR پیشنهاد شد .
درآن زمان، بل نامساوی موسوم به نامساوی بل را پیشنهاد کرد] Bel64 [ .
این نامساوی تاییدی بر غیر موضعی بودن سیستم های کوانتومی در هم تنیده است .
با گذشت بیش از چند دهه ، هنوز این خاصیت چه از دیدگاه تئوری و چه از دیدگاه عملی بسیار جالب است .
در واقع درهم تنیدگی یکی از حیرت انگیزترین جنبه های فرمولبندی مکانیک کوانتومی می باشد .
درهم تنیدگی رفتار کوانتومی سیستم های دو یا چند ذره ای است که نخست با هم برهم کنش کرده و سپس از هم جدا می شوند.
براساس مکانیک کوانتومی ، ذرات جدا شده از هم ، حتی وقتی که هیچ برهم کنش شناخته شده ای بین آنها وجود نداشته باشد، برهم اثر می کنند و داشتن اطلاعات درباره یکی ، منجر به کسب اطلاعات درباره دیگری می شود .
در چند سال گذشته با ظهور نظریه اطلاعات کوانتومی و محاسبات کوانتومی، باردیگر بحث درهم تنیدگی اهمیت فراوان یافته است.
کاربردهای متعددی ازحالت های درهم تنیده کوانتومی پیشنهاد شده، از جمله در محاسبات کوانتومی و انتقالات کوانتومی از راه دوراز این مفهوم استفاده می شود.
با به کارگیری سیستم های درهم تنیده کوانتومی در انجام محاسبات و ارتباطات می توان این اعمال را در مقایسه با روش های کلاسیکی سریعتر و از طریقی ایمن تر انجام داد .
بطور کلی انگیزه بررسی مبحث درهم تنیدگی را می توان در چهار مورد زیر خلاصه کرد :
1- انگیزه فلسفی : همانطوریکه دیدیم در هم تنیدگی ابتدا بعنوان یکی از مسائل بنیادی و نظری مکانیک کوانتومی، با طرح مقاله EPR مطرح شد.
درهم تنیدگی ازاین دیدگاه فلسفی هنوز هم ، قابل بررسی است .
2- انگیزه بنیادی فیزیکی : درهم تنیدگی یکی از مهمترین مسائل باز مکانیک کوانتومی است که باید به این سوال پاسخ دهد که : طبیعت همبستگی های کوانتومی در سیستمهای مرکب چیست ؟
3- انگیزه فیزیک کاربردی: درهم تنیدگی نقش اساسی درکاربرد فیزیک کوانتومی در اطلاعات کوانتومی دارد .
که اخیرا به آن توجه زیادی شده است و بعلت لزوم کاربرد آن در شاخه های مختلف اطلاعات کوانتومی مثل کامپیوترهای کوانتومی ، رمزنگاری کوانتومی، انتقالات کوانتومی از راه دور و...
پتانسیل عظیمی از افراد و بودجه را درسالهای اخیر به خود اختصاص داده است .
4- انگیزه ریاضی محض : مساله در هم تنیدگی مستقیما به یکی از مسائل مهم و باز جبر خطی و آنالیز بنیادی ، یعنی مشخص کردن و طبقه بندی نگاشت های مثبت در جبر *C مربوط می شود .
با ذکر انگیزه های مختلف این بحث ، می توان حدس زد که افراد مختلف با انگیزه های مختلف، شروع به ساختن پایه های تئوری این مبحث کرده اند تا با تکمیل شدن هرچه بیشتر تئوری، بتوان به کاربردهای صنعتی و تکنولوژیکی مهم آن درست یافت .
در این پایان نامه قصد داریم به معرفی دانش کلی و برخی خصوصیات این ویژگی کوانتومی بپردازیم.
در فصل اول پایان نامه ، تعریف بعضی مفاهیم و به طور خاص تعریف درهم تنیدگی و جداپذیری را ارائه داده ایم.
اولین و مهمترین بحث در مطالعه سیستم های کوانتومی درهم تنیده ، تشخیص درهم تنیدگی می باشد .
طی سالهای گذشته برای تشخیص در هم تنیدگی معیارهای مختلفی معرفی شده اند.
در فصل دوم بعضی از این معیارها را ارائه خواهیم کرد و مثالی از کاربرد هریک از ملاکها بیان خواهیم کرد.
درجه هم تنیدگی سیستم های کوانتومی متفاوت است، برخی سیستم ها از جمله حالتهای بل دارای حداکثر مقدار درهم تنیدگی می باشند و سیستم های کوانتومی دیگر درجه هم تنیدگی کمتری دارند.
تاکنون روش های مختلفی برای تشخیص اندازه درهم تنیدگی حالتها پیشنهاد شده است .
در فصل سوم به چند روش موجود تعیین درجه درهم تنیدگی اشاره خواهیم کرد و یک روش جدید برای بدست آوردن درجه درهم تنیدگی یک سیستم کوانتومی خاص "کیوبیت-کیوتریت" بدست می آوریم.
در فصل چهارم همان سیستم کوانتومی خاص "کیوبیت – کیوتریت" را در نظر می گیریم و برای این سیستم کوانتومی، حالتهای با بیشترین مقدار در هم تنیدگی را بدست می آوریم .
درفصل پنجم یکی از کاربردهای درهم تنیدگی، ارتباط از راه دور را در حضور نوفه بررسی
در این پایان نامه قصد داریم به معرفی دانش کلی و برخی خصوصیات این ویژگی کوانتومی بپردازیم.
در فصل سوم به چند روش موجود تعیین درجه درهم تنیدگی اشاره خواهیم کرد و یک روش جدید برای بدست آوردن درجه درهم تنیدگی یک سیستم کوانتومی خاص "کیوبیت-کیوتریت" بدست می آوریم.
در فصل چهارم همان سیستم کوانتومی خاص "کیوبیت – کیوتریت" را در نظر می گیریم و برای این سیستم کوانتومی، حالتهای با بیشترین مقدار در هم تنیدگی را بدست می آوریم .
درفصل پنجم یکی از کاربردهای درهم تنیدگی، ارتباط از راه دور را در حضور نوفه بررسی می کنیم.
و بالاخره در فصل ششم مفهوم در هم تنیدگی کمکی را بیان کرده و شرایط حاکم بر رده خاصی از حالتها را که این مقدار برایشان به راحتی قابل محاسبه است ، بدست می آوریم و بزرگی این رده را در دو حالت مختلف محاسبه می کنیم .
فصل اول درهم تنیدگی و جداپذیری در این فصل ، پس ازذکرمقدمات ، تعریف درهم تنیدگی ، حالت در هم تنیده و حالت جداپذیر را ارائه می دهیم .
1-1 حالت : یک توصیف کامل از یک سیستم فیزیکی را حالت گوییم.
در مکانیک کوانتومی ، یک حالت ، یک بردار در فضای هیلبرت است .
1-2 فضای هیلبرت :یک فضای برداری روی اعداد مختلط C می باشد .
بردارها را به صورت نشان می دهیم یک ضرب داخلی به صورت در این فضا وجود دارد که می تواند یک زوج مرتب از بردارها را به C (اعداد مختلط) نگاشت کند که این ضرب داخلی خواص ز یررا دارد .
مثبت بودن برای .
خطی بودن .
تقارن Skew .
فضای هیلبرت با نرم یک فضای کامل است .
1-3 کیوبیت : کوچکترین واحد اطلاعات کلاسیکی بیت نام دارد که دو مقدار را می تواند داشته باشد.
واحد مربوطه در اطلاعات کوانتومی یک بیت کوانتومی یا کیوبیت می باشد که یک حالت را در ساده ترین سیستم کوانتومی توصیف می کند .
کوچکترین فضای هیلبرت دو بعدی است ، می توان پایه های راست هنجار این فضا را به صورت و در نظر گرفت.
در اینصورت حالت نرمالیزه کلی به صورت بیان می شود که و اعداد مختلط هستند و .
یک کیوبیت یک حالت در فضای هیلبرت دو بعدی است که در حالت کلی بصورت بالاست .
با اندازه گیری روی یک کیوبیت ، کیوبیت به یکی از حالتهای یا تصویر می شود .
حالت با احتمال و با احتمال بدست می آید .
نکته مهم اینست که اندازه گیری حالت سیستم را تغییر می دهد .
بعبارتی با یک اندازه گیری نمی توان حالت سیستم را بدست آورد.
چون پس از اندازه گیری سیستم در یکی از دو حالت یا است و حالت قبلی سیستم از بین رفته است .
برخلاف کیوبیت ، یک بیت کلاسیکی را به راحتی می توان اندازه گیری کرد، بدون اینکه حالت سیستم خراب شود و در واقع می توان تمام اطلاعات داخل یک بیت را خواند .
1-4 ماتریس چگالی : مکانیک کوانتومی در طی سالهایی که از تولد آن گذشته است ، به روشهای مختلفی فرمول بندی شده است .یکی از روشهای بیان مکانیک کوانتومی ، براساس روش ماتریس چگالی است.
این روش درمواردی که حالت یک سیستم کوانتومی بطور کامل مشخص نیست، ویا درمواردی که سیستم ما مرکب ازدو یا چند زیرسیستم است ، کارآیی زیادی دارد .
یک قضیه که ما دراینجا آنرا اثبات نمی کنیم ، بیان می کند که ، اپراتور را اپراتور چگالی گوییم اگر و فقط اگر ، دو شرط زیر را داشته باشد : 1) ماتریسی با رد واحد باشد .
یک اپراتور مثبت باشد .
توضیح اینکه ما در این بحث از اپراتور چگالی و ماتریس چگالی به یک مفهوم استفاده می کنیم.
وماتریس مثبت، ماتریسی است که ویژه مقادیر غیر منفی داشته باشد .
در بحث ماتریس چگالی ازآنسامبل حالتها استفاده می کنیم که می توان آنسامبل خالص، کاملا تصادفی و مخلوط را تعریف کرد.
اگرحالت سیستم کاملا مشخص باشد یک حالت خالص داریم: .
در غیر اینصورت یک حالت مخلوط داریم که مخلوطی از حالتهای خالص فوق است .ماتریس چگالی را بر حسب حالتهای سیستم به صورت زیر نشان می دهیم : (1-1) که درآن احتمال حضور در هر حالت خاص است و.
برای یک حالت خالص شرط را داریم در حالیکه برای یک حالت مخلوط می باشد .
1-4-1 عملگر چگالی تقلیل یافته : یکی ازمهمترین دلایل استفاده ازماتریس چگالی بعنوان ابزار ریاضی بیان مبحث درهم تنیدگی، اینست که می توان برای توصیف زیر سیستم های یک سیستم کوانتومی ازآن استفاده کرد.فرض کنید سیستم های فیزیکی A و B ، سیستم کلی را بسازند .
اپراتور چگالی تقلیل یافته برای سیستم A به صورت زیر تعریف می شود: (1-2) که در آن رد جزئی نسبت به زیر سیستم B است و به صورت زیر نوشته می شود: (1-3) که و دو بردار در فضای حالت Aو و دو برداردر فضای حالت B می باشند اپراتورtr که در سمت راست معادله ظاهر شده است ، اپراتور رد روی زیر سیستم B می باشد بطوریکه (1-4) 1-4-2 ترانهاده جزئی : برای هر ماتریس چگالی که روی فضای تعریف شده باشد ، عناصر ماتریسی آنرا می توان به صورت زیر نوشت : (1-5) که درآن و پایه های راست هنجار دلخواه در فضای هیلبرت هستند که به ترتیب زیر سیستم اول و دوم را توصیف می کنند .
ترانهاده جزئی نسبت به یکی از زیر سیستم ها (مثلا دومی ) به صورت زیر تعریف می شود .
(1-6) همانطوریکه ملاحظه می شود رد جزئی نسبت به زیر سیستم دوم ، فقط همان اندیسهای لاتین مربوط به زیرسیستم دوم را تغییر داده است .
و یا می توان این عمل را به صورت زیر نشان داد : (1-7) که در آن T عملگر ترانهاده است .
1-5 درهم تنیدگی و جداپذیری : پس از ذکر مقدمات لازم برای ورود به بحث ، حال به موضوع اصلی در این پایان نامه می پردازیم .
می خواهیم توصیف علمی و دقیقی از مفهوم جداپذیری و یا درهم تنیدگی یک حالت کوانتومی ارائه دهیم .
این موضوع برای حالتهای خالص بسیار ساده است : یک حالت خالص جداپذیر نامیده می شود اگر و فقط اگر بتوان آنرا به صورت نوشت و در غیر اینصورت درهم تنیده است .
بعنوان مثالی از یک حالت جداپذیر را می توان نام برد و مثال برای حالتهای در هم تنیده خالص ، حالتهای بل هستند .
(1-8) در مورد حالتهای مخلوط: یک حالت مخلوط جداپذیر است اگر توسط دو جزء که به طور سنتی آلیس و باب نامیده می شوند به یک روش کلاسیکی آماده شده باشد .ماتریس چگالی که به این روش تولید شده باشد تنها می تواند همبستگی های کلاسیکی داشته باشد .
به زبان ریاضی می توان گفت یک حالت مخلوط جداپذیر است اگرو فقط اگر بتوان آن را به صورت زیر نوشت : (1-9) و در غیر اینصورت در هم تنیده است .
در اینجا ها حالتهای مربوط به زیر سیستم اول (آلیس ) و ها حالتهای مربوط به زیر سیستم دوم ( باب ) می باشند و باید دقت کرد که در حالت کلی و همچنین حالتهای باب نیز لزوما راست هنجار نیستند.
و ضرایب احتمال ها هستند به طوری که و.
یک مثال از یک حالت جداپذیر مخلوط که همبستگی کلاسیکی دارد ولی همبستگی کوانتومی ندارد ماتریس چگالی می باشد .
مثالی از یک حالت در هم تنیده مخلوط یک حالت ورنر1 است که مخلوطی