دانلود تحقیق منحنی‌ها

منحنی‌ها در حالت کلّی – فرم پارامتری یک منحنی:
در ابتدا می‌خواهیم فرم پارامتری یک منحنی را مشخص کنیم.

لذا لازم است که درشروع، پارامتر را معرفی می‌کنیم:
فرض می‌کنیم c نمودار تابع پیوسته‌ی و p یک نقطه‌ی متغیر روی این منحنی باشد.

t را به عنوان یک پارامتر انتخاب می‌کنیم، هرگاه تغییر مکان، نقطه‌ی p روی منحنی c به‌وسیله‌ی t به طور منحصر به فردی تعیین گردد.

مثلاً در شکل فوق، می‌توان موقعیت p را با مقادیر تعیین کرد یا حتی با ، موضع p مشخص می‌شود؛ زیرا با معلوم بودن و یا مقدار t را به طور منحصر به فردی مشخص می‌شود و در نتیجه موضع p به عنوان تابعی از t مستلزم تعیین به صورت توابعی از t است.

لذا جفت معادله‌ی و معادلات پارامتری منحنی c خوانده می‌شوند.

زیرا با تغییر منحنی c حاصل می‌شود.

در این جا فرض می‌کنیم که دارای یک قلمرو بوده و بر این قلمرو پیوسته می‌باشد.

مثال(1) منحنی به معادله‌ی قطبی و را می‌توان با توجه به اینکه و به فرم پارامتری زیر نشان داد:
و که زاویه‌‌ی به عنوان پارامتر مشخص شده است.

مثال(2)در نظر بگیرید معادله‌ی دایره‌ی دارای نمایش پارامتری به صورت و است که زاویه‌ای است که با جهت مثبت محور xها می‌سازد؛ زیرا هر t، p منحصر به فردی را مشخص می‌کند و یا حتی
و همان دایره‌ی را نمایش می‌دهد.

همچنین می‌توان برای معادله‌ی فوق، طول قوس را به عنوان پارامتر در نظر بگیریم؛ زیرا هر s یک p منحصر به فرد را معلوم می‌کند.

داریم: و بنابراین:
c=


که فرم پارامتری دایره‌ی بر حسب پارامتر طول قوس می‌باشد.

مثال(3) منحنی و یک بیضی است، اگر که و باشند.

حل: از خذف t از دو معادله‌ی بالا داریم و
و در نتیجه:
که معادله یک بیضی است.

مثال(4) منحنی و که در آن هر دو مثبت‌اند را در نظر می‌گیریم.

حل: با حذف t از دو معادله داریم: و
بنابراین: که معادله هذلولی است.

مثال(5) فرض کنیم که یک دایره به شعاع در امتداد یک خط افقی بدون لغزش، بغلطد.

فرم پارامتری منحنی‌ای را بیابید که به‌وسیله‌ی نقطه‌ی p از محیط آن رسم می‌شود.

حل: با فرض اینکه خط افقی محور xها زاویه‌ی دوران دایره باشد، با توجه به شکل داریم:

اما مساوی طول قوس است؛ چرا که دایره بدون لغزش می‌غلطد.

بنابراین است.

لذا است و اما :

توجه کنید که این منحنی نمودار یک تابع متناوب با دوره‌ی تناوب مثل است.

این منحنی که توسط p به‌وجود می‌آید، )) نام دارد و نشان دادیم که دارای این معادلات پارامتری است:
و

قضیه (1):منحنی و را که در آن fو g در بازه‌ی باز مشتق پذیرند را در نظر بگیرید.

فرض می‌کنیم که در تغییر علامت نمی‌دهد یا صفر نمی‌شود.

در این صورت منحنی و نمودار یک تابع مشتق‌پذیر مانند و است و

اگر توابع f و g، nبار مشتق پذیر باشند، نیز چنین است.

قضیه‌ی (2): فرض می‌کنیم که c یک منحنی با معادلات پارامتر ی و بوده و توابع و در موجود و پیوسته باشند، در این صورت با طول متناهی است و :
(1) dt

مثال(6) می‌خواهیم طول یعنی (محیط) دایره‌ی و را به‌دست آوریم.

حل:

تذکر: اگر c نمدار تابع باشد، می‌توان معادلات پارامتری و را برای آن در نظر گرفت.

طبق فرمول (1) :
dt است و یا معادلاً (2) که رابطه‌ای بسیار مفیدی برای یافتن طول منحنی می‌باشد.

تست(1) طول منحنی c نیم دایره‌ای کدام است؟

1) 2) 3) 4)
حل: گزینه‌ی (1)؛
چون است، خواهیم داشت:







مثال(7) اگر c دارای نمودار قطبی باشد، فرم پارامتری آن عبارت است از : و
از این‌ها نتیجه می‌شود: =


در نتیجه

بنابراین: (3)

و یا: (4)

تست (2): طول منحنی دلگون c به معادله‌ی کدام است؟

1)8 2)10 3)16 4)20
حل: گزینه‌ی (3)؛
با توجه به تقارن نسبت به محور xها داریم:



طول قوس به عنوان پارامتر – انحناء فرض کنیم که c منحنی به معادلات پارامتری و باشد که در آن‌ها و در موجود و پیوسته است.

همچنین .

لذا و هیچ‌گاه با هم در صفر نمی‌شوند؛ مانند شکل زیر.

مانند شکل فرض می‌کنیم طول قوس c از نقطه‌ی تا نقطه‌ی متغیر باشد.

بالاخص و که L طول تمام منحنی c است.

لذا بنا بر قضیه‌ی(2) داریم: حال طبق قضیه (1) نتیجه می‌شود که s تابعی مشتق پذیر از t بوده و که را عنصر نامیده می‌شود و می‌دانیم غیر صفر (در واقع مثبت) است.

حال اگر بخواهیم طول قوس یک منحنی به معادله‌ی قطبی را بدست آوریم، با استفاده از رابطه‌ی (3) داریم: و در نتیجه : و یا : از روابط (5) و (6) نتیجه می‌شود که در .

بنابراین تابع در صعودی است.

بنابراین معکوس پذیر بوده و معکوس آن در که در آن L طول c است، موجود و پیوسته است.

حال با استفاده از تابع طول قوس ، کمیتی را تعریف می‌کنیم که میزان تغییر جهت منحنی c، به معادلات پارامتری و را توصیف می‌کند.

علاوه بر رابطه‌ی (5)، فرض می‌کنیم منحنی c جز در نقاط ابتدا و انتها، خود را قطع نکند و مشتقات دوم ممکن است به ازای و بوده و موجود نباشد.

این تنها به خاطر جهش تیز امکان پذیر است، به عنوان زاویه‌ای لزوماً در بازه‌ی ، امّا در این حالت را از طرف راست رابطه‌ی (8) بدست می‌اوریم.

حال حالت قطبی معادله‌ی c را در نظر می‌گیریم.

اگر c دارای معادله‌ی قطبی باشد داریم: لذا: و و با جایگذاری در رابطه‌ی (8) و بازگشت به متغیر ،خواهیم داشت: تست(3): انحنای دلگون در برابراست با: 1)صفر 2)1 3)بی نهایت 4) حل: گزینه‌ی (3)؛ حال اگر توابع و در موجود و پیوسته باشد، فرض می‌کنیم میسل مماس به c در نقطه‌ی باشد، در این صورت منظور از انحنای منحنی c در p یعنی مشتق زاویه‌‌ی میل به قوس، است.

می‌دانیم: و .

امّا می‌دانیم : بنابراین: که و .

و که در آن و .

که در آن و است.

لذا .

بنابراین حال با جایگذاری دیده می‌شود: .

تابع برداری در حالت کلی، یک تابع قانونی است که به هر عنصر از دامنه یک عنصر در برد نسبت می‌دهد.

پس یک تابع با مقادیر برداری یا تابع برداری که دامنه‌ی آن یک مجموعه از اعداد حقیقی و برد آن مجموعه‌ای از بردارهاست که ممکن است دو بعدی یا سه بعدی باشند و به صورت زیر تعریف می‌گردد: تعریف(1): تابع برداری، تابعی است که از فضای به فضای تعریف می‌گردد؛ به طوریکه به هر nتایی یک mتایی مرتب را نسبت می‌دهند.

تعریف(2): هر تابع که دامنه‌ی آن در |R و برد آن در باشد، یک تابع برداری نامیده می‌شود.

اگر متغیر مستقل باشد، آن‌گاه مقدار تابع برداری به این صورت نمایش داده می‌شود : که در آن ها به ازای توابع حقیقی از به هستند و به توابع مؤلفه‌ای معروف هستند.

نکته: تابع برداری سه بعدی r، از معادله‌ی فوق به ازای به دست می‌آید.

دامنه‌ی توابع برداری:دامنه‌ی ، اشتراک دامنه‌ی توابع متناظر است.

برای نمونه یک تابع برداری دو بعدی با دامنه‌ی و و یک تابع برداری از فضای و با دامنه‌ی می‌باشد.

مثال(8): دامنه‌ی برداری داده شده را بیابید.

حل: دامنه‌ی تابع برداری r شامل همه‌ی مقادیر می باشد که در آن مؤلفه‌های و و تعریف شده‌اند، یعنی: تست(4): تابع با ضابطه‌ی تعریف شده است.

دامنه‌ی عبارت است از: 1) 2) 3)|R 4) حل: گزینه‌ 4؛ چون دامنه‌ی اشتراک دامنه‌ی هاست، ابتدا باید به تعیین دامنه‌ی سه تابع داده شده بپردازیم: پس: حال می‌خواهیم یک نمایش هندسی برای تابع برداری ارئه دهیم.

فرض می‌کنیم t معرف زمان باشد، در این صورت بردار مکان در زمان نقطه‌ی و را در صفحه مشخص می‌کند و یا تغییر زمان مجموعه نقاطی که در صفحه مشخص می‌کند، تغییر خواهند داد.

بدین ترتیب یک منحنی در صفحه مشخص می‌شود که متناظر با تابع برداری است.

به همین صورت می‌توان یک نمایش هندسی برای تابع برداری سه بعدی ارائه داد که آن‌را هم فضایی می‌نامیم.

مثال(9): یک نمایش هندسی برای ارائه دهید.

حل: این تابع در زمان t=0 نقطه و در زمان نقطه‌ را در صفحه مشخص می‌کند.

توجه کنید که در هر زمان مجموعه نقاط ای که مشخص می‌شوند روی بیضی قرار می‌گیرند.

به این ترتیب نمایش این تابع به صورت یک بیضی با شعاع‌های 2و3 می‌باشد.( شکل الف) البته توجه کنید ممکن است که دو تابع برداری متفاوت ، نمایش هندسی یکسانی داسته باشند.

برای نمونه تابع همان بیضی را نمایش می‌دهد، ولی در زمان به نقطه‌ی اشاره می‌کند (شکل ب) .

لذا اگر توابع r(t) و Q(t) را به عنوان بردارهای حرکت ذره‌ای 1 و 2 در نظر بگیریم، آن‌گاه ذره‌ی 1 با سرعت بیشتری نسبت به ذره‌ی 2 روی بیضی حرکت می‌کند.

مثال(10) : خم متناظر با تابع را تعریف کنید.

حل: این تابع در زمان t، نقطه‌ی را با مختصات و و مشخص می‌کند، می‌دانیم که این معادلات ، معادلات پارامتری خطی است موازی با بردار که از نقطه‌ی می‌گذرد.

مثال(11): نمایش هندسی تابع برداری را بیابید.

حل: در زمان t=0 بردار مکان نقطه‌ی را مشخص می‌کند.

با توجه به ضابطه‌ی تابع در هر لحظه داریم: بنابراین مجموعه نقاطی که مشخص میشود، روی استوانه‌ای قرار خواهند گرفت و با توجه به اینکه است، لذا با افزایش زمان ، این خم در امتداد محور xها پیش می‌رود.

به این ترتیب یک خم مارپیچ شکل در فضا مشخص می‌شود.

نمودار توابع پارامتری: یک ارتباط نزدیک بین توابع برداری و منحنی‌ها در فضا وجود دارد، به این صورت که اگر یک نقطه از ناحیه تعریف شده تابع برداری r باشد، آن‌گاه: یک بردار ثابت در فضا می‌باشد، که موقعیت نقطه با و و را مشخص می‌نماید.

مجموعه c تشکیل شده از همه نقاط به صورت: و و است که t مقداری در فاصله‌ی I باشد یک منحنی فضایی نامیده می‌شود.

هم‌چنین معادلات فوق،معادلات پارامتری c و t یک پارامتر نامیده می‌شوند، می‌توانید تجسم نمائید که مجموعه c اثر حرکت یک ذره در هر لحظه از زمان t است که در موقعیت قرار دارد.

به این ترتیب منحنی‌ها در صفحه را نیز می‌توان با علامت برداری با خذف یکی از توابع مؤلفه‌ای نشان داد: که در آن و می‌باشند.

تذکر: رسم نمودار برداری در در حالت کلی مشکل است؛ مگر در موارد خاص که به اندازه‌ی کافی نیز جالب هستند.

به هر حال به کمک CAS می‌توان به آسانی منحنی فضایی c را با یک دستور رسم نمود.

مثال(12):منحنی تابع برداری داده شده را رسم کنید.

حل: معادله‌ی پارامتری برای این منحنی عبارت است از: چون ، منحنی روی استوانه‌ی دایره‌ای قرار دارد.

نقطه به طور مستقیم با z=tبالای نقطه قرار می‌گیرد که نشان‌دهنده‌ی حرکت در جهت خلاف عقربه‌های ساعت روی دایره‌ی در صفحه‌ی xy است، در نتیجه c یک منحنی مارپیچ دورانی رو به بالای استوانه‌ی فوق با افزایش t می‌باشد.

مثال(13): تعیین منحنی حاصل از تقاطع صفحه با استوانه ضابطه‌ی تابع برداری که نشان‌دهنده‌ی منحنی محل تقاطع صفحه‌ی با استوانه را می‌یابیم.

حل: منحنی c حاصل از محل تقاطع آن‌ها یک بیضی می‌باشد.

تصویر c در صفحه‌ی xy ، دایره‌ی با z=0 است.

یعنی : از معادله‌ی صفحه داریم: بنابراین معادله‌ی پارامتری برای بیضی c به صورت زیر بدست می‌آید: در نتیجه معادله‌ی برداری متناظر عبارت است از: جهت حرکت c نیز در شکل روبرو با افزایش t نشان داده شده است.

مثال(14): رسم یک تابع برداری روی رویه با روش رویه‌ها معادله‌ی برداری را رسم کنید.

حل: با حذف پارامتر t از دو معادله‌ی پارامتری x=t و y= ، معادله‌ی استوانه‌ی سهمی به دست آید، پس منحنی روی استوانه‌ی فوق قرار دارد.

روش دیگر: چون منحنی روی استوانه‌ی (حذف پارامتر از تابع مؤلفه‌ای اول و سوم) نیز قرار دارد؛ پس محل تقاطع استوانه‌های y= و می‌باشد.

5-حدود پیوستگی توابع برداری تعریف: فرض کنید یک تابع برداری و L یک تابع برداری باشد.

در این صورت هنگامی که t به نزدیک می‌شود، می‌گوئیم حد r برابر است و می‌نویسیم: هر گاه برای ، یک موجود باشد، به‌طوری‌که برای هر t : قضیه(3): فرض کنیم باشد، در این صورت است؛ اگر تنها اگر: و و برهان: با توجه به این‌که: و حکم به سادگی ثابت می‌شود.

قضیه(4):تابع برداری در حدی برابر دارد؛ هر گاه: برهان: ابتدا فرض می‌کنیم که است.

پس برای هر یک یافت می‌شود که هر گاه را داشته باشیم، خواهیم داشت: برای این کار از نامساوی کوشی-شوارتز استفاده می‌کنیم که چنین است: که می‌توانیم آن‌را به صورت روبه‌رو بنویسیم: زیرا: حال اگر باشد، طبق فرض و طبق نامساوی کوشی-شوارتز داریم: زیرا: و این یک طرف قضیه را ثابت می‌کند.

عکس قضیه: حال فرض می‌کنیم