دانلود مقاله بررسی خواص مقدماتی و رفتار فرایندهای شاخه ای گالتون - واتسون

چکیده
هدف از این تحقیق بررسی خصوصیات اصلی و رفتار فرآیندهای شاخه ای گالتون- واتسون دو جنسی با تابع خانواده زیر جمعی و احتمالات انقراض در چنین فرآیندهایی است.

مدلی از فرآیند شاخه ای دو جنسی مفروض است به طوری که توزیع زاد و ولد به اندازه جمعیت بستگی دارد.

همچنین حالت خاص را در نظر می گیریم که در آن نرخ رشد جمعیت (میانگین توزیع زاد و ولد)، وقتی به میل می کند .

برای این نوع از فرآیندهای شاخه ای گالتون- واتسون دوجنسی شرط لازم برای همگرایی فرآیند در و ارائه می گردد.

همچنین شرط کافی برای همگرائی در به دست خواهد آمد.

مقدمه
تا کنون مطالعات زیادی روی نحوه رشد جمعیت و احتمال انقراض در فرآیندهای شاخه ای گالتون- واتسون استاندارد انجام شده است.

در حالت دوجنسی (که مدل مناسبی برای جامعه انسانی است) تعمیم این قضایا لازم به نظر می رسد.

زمانی که ما چگونگی رشد جمعیت را بدانیم، می توانیم زمان انقراض رفتار مجانبی رشد جامعه را بررسی کنیم و مدل مناسبی برای آن بدست آوریم.

فرآیندهای شاخه ای گالتون-واتسون دو جنسی اولین بار توسط دالی در سال 1968 و پس از آن توسط آسمونس در سال 1980 تعریف و بررسی شد.

دالی نشان داد که فرآیند شاخه ای گالتون- واتسون دو جنسی یک زنجیر مارکوف با ماتریس احتمال تغییر وضعیت یک مرحله ای با فضای حالت صحیح و نامنفی است.

در نظریه فرآیندهای شاخه ای گالتون- واتسون استاندارد می دانیم که فرآیند با احتمال 1 منقرض می شود اگر و فقط اگر میانگین تولید مثل برای هر فرد دلخواه کمتر از 1 باشد.

حال ما می خواهیم بدانیم «آیا قوانین متشابهی برای احتمالات انقراض در فرآیندهای شاخه ای گالتون- واتسون دو جنسی وجود دارد؟»
در سال 1968 دالی یک شرط لازم و کافی برای احتمال انقراض 1 برای فرآیندهای با توابع خانواده خاص به دست آورد.

هدف از این تحقیق معرفی فرآیندهای شاخه ای گالتون- واتسون دوجنسی و فرآیند زوجهای هم خانواده و بیان ویژگی های آنها و مقایسه احتمالات انقراض در چنین فرآیندهایی است ابتدا شروط انقراض در فرآیندهای شاخه ای گالتون- واتسون دوجنسی را بررسی می کنیم سپس قوانین کلی انقراض و در نهایت گشتاورهای فرآیند و برخی خواص آنها را مورد بررسی قرار می دهیم.

فصل اول


فرآیندهای شاخه ای گالتون-واتسون استاندارد


1-1-مروری بر تعاریف و قضایای مقدماتی
1-2-فرآیندهای شاخه ای گالتون-واتسون استاندارد







مقدمه
هدف از این فصل ارائه مطالب کلی و مورد نیاز برای مطالعه فصل های بعدی می باشد در بخش اول برخی از تعاریف و قضایای مقدماتی را که بعداً به آنها نیاز خواهیم داشت بررسی می کنیم و در بخش دوم فرآیندهای شاخه ای گالتون-واتسون استاندارد و برخی خواص عمومی آن را مورد مطالعه قرار می دهیم.

1-1- مروری بر تعاریف و قضایای مقدماتی
تعریف 1-1-1: یک فرآیند تصادفی عبارتست از گرد آیه ای مانند از متغیرهای تصادفی ، که در یک فضای احتمال مشترک و با مقادیر در فضای حالت S تعریف می‌شوند.

T زیر مجموعه‌ای از است و معمولاً به عنوان مجموعه پارامتر زمان تعبیر می‌شود .

هرگاه فرآیند را فرآیند با زمان پیوسته می نامند و هرگاه فرآیند را فرآیند با زمان گسسته نامند.

معمولاً اگر فرآیند را به صورت نمایش می دهند.

فرآیند مورد نظر ما در این رساله فرآیند با زمان گسسته است.

تعریف 1-1-2: فرض کنید فرآیند تصادفی با زمان گسسته و فضای حالت شمارای S باشد گوئیم این فرآیند یک زنجیر مارکوف است اگر به ازای هر و هر و y از حالتها، رابطه زیر برقرار باشد: (1-1) یعنی فقط اطلاع از حالت فرآیند در مرحله n برای تعیین توزیع حالت فرآیند در مرحله کفایت می کند و اطلاعات قبل از آن مؤثر نخواهد بود.

احتمال شرطی را احتمال انتقال یک مرحله ای از x در مرحله n ام به y در مرحله ام می نامیم.

احتمالات انتقال را با نشان می‌دهیم بنابراین: ماتریس را که درایه های آن احتمالهای انتقال یک مرحله است ماتریس احتمال انتقال یک مرحله ای می‌نامیم.

سطر x ام این ماتریس احتمالهای انتقال از x به یکی از حالتهای زنجیر در یک مرحله است، اگر احتمالات انتقال یک مرحله ای از متغیر زمان مستقل باشد گوئیم فرآیند مارکوف دارای احتمالات انتقال مانا می باشد.

تعریف 1-1-3: فرض کنید دنباله ای از متغیرهای تصادفی تعریف شده بر فضای احتمال باشد.

همچنین دنباله ای از میدانهای باشد که برای هر n داشته باشیم : است اگر: یک زیر مارتینگل نسبت به است اگر : آ.به ازاء هر n.، روی اندازه پذیر باشد.

ب : به ازاء هر n ، ج : به ازاء هر n ، هر گاه یک زیر مارتینگل باشد ، آنگاه یک زیرمارتینگل است .

هر گاه و یک زیر مارتینگل باشند آنگاه یک مارتینگل نسبت به می باشد .

تعریف 1-1-4 : فرض می کنیم دنباله ای از متغیرهای تصادفی باشند ،‌دنباله همگرای a.s.

به متغیر تصادفی X است اگر : تعریف 1-1-5 : فرض کنیم دنباله ای از متغیرهای تصادفی باشد .

گوئیم این دنباله در به متغیر تصادفی X همگراست هر گاه : تعریف 1-1-6 : فرض می کنیم دنباله ای از متغیرهای تصادفی باشد دنباله همگرا در احتمال به متغیر تصادفی X است .

هر گاه بازاء هر لم 1-1-1 : فرض کنید متغیرهای تصادفی در یک فضای احتمال باشند ، اگر وقتی همگرا در به X باشد‌ ، آنگاه همگرا a.s.

به X است .

لم 1-1-2 : فرض می کنیم دنباله ای از متغیرهای تصادفی باشد .

اگر وقتی ، همگرایی a.s.

به X باشد آنگاه همگرا در احتمال به X است .

لم 1-1-3 : (قضیه همگرائی مارتینگل ها) : آ : فرض کنید یک زیر مارتینگل صادق در : باشد .

در این صورت یک متغیر تصادفی متناهی مانند X وجود دارد که با احتمال یک به همگراست یعنی (1-2) لم 1-1-4 : (نامساوی جانسن) : آ : متغیر تصادفی X مفروض است .

اگر g(x) تابعی مقعر باشد آنگاه : ب : متغیر تصادفی X مفروض است .

اگر g(x) تابعی محدب باشد آنگاه : لم 1-1-5 : به فرض f انتگرالپذیر و نزولی بر باشد ، و در این صورت : اگر و فقط اگر : لم 1-1-6 : فرض کنید f تابع نزولی مثبت باشد .

در این صورت برای هر و داریم : لم 1-1-7 : فرض کنید f(x) یک تابع مثبت و نزولی بر باشد بطوریکه xf(x) صعودی باشد و .

همچنین فرض کنید دنباله ای از اعداد مثبت باشد .

اگر به ازاء یک و هر داشته باشیم .

آنگاه : آ : موجود است .

ب: ای که فقط به f و m بستگی دارد موجود است به طوریکه اگر آنگاه .

1-2- فرایندهای شاخه ای گالتون - واتسون استاندارد : فرآیندهای شاخه ای گالتون - واتسون استاندارد را می توان به شکل زیر تشریح کرد : فرض می کنیم فرآیند در نسل آغازین (صفر ام) N عضو داشته باشد ، یعنی در نسل صفر پس از یک نسل هر فرد با احتمال ، k فرزند به وجود می آورد .

یعنی که در آن تعداد فرزندان فرد ام است .

عده‌ نسل اول خواهد بود .

لذا تعداد فرزندان نسل آغازین و اندازه جمعیت در نسل اول خواهد بود .

اگر آنها را 1 و 2و ...

و بنامیم هر فرد به تعداد فرزند بوجود می آورد .

پس عده نسل دوم برابر است با و نسل ادامه می یابد .

به طور کلی : تعریف 1-2-1 : فرض کنیم موجود زنده ای در پایان عمرش تعداد تصادفی نوزاد با توزیع احتمال : (1-3) به وجود می آورد که در آن و همچنین تمام فرزندان مستقل از هم عمل می کنند و در آخر عمرشان فرزندانی بر طبق توزیع احتمال (1-3) خواهند داشت .

بدین ترتیب نسلشان ادامه خواهد یافت .

اندازه جمعیت در نسل n‌ام و تعداد فرزندان خانواده k ام از نسل nام است .

; (1-4) (با مجموع تهی تعریف شده صفر) را فرآیند شاخه ای گالتون - واتسون استاندارد می نامیم .

اصولاً فرایندهای شاخه ای گالتون - واتسون استاندارد با 2 پارامتر زیر مشخص می‌شوند :‌ 1- : اندازه جمعیت در نسل‌آغازین 2- : قانون احتمال زاد و ولد .

یعنی احتمال اینکه یک فرد دلخواه n فرزند داشته باشد است .

لم 1-2-1 : فرض می کنیم فرآیند شاخه ای گالتون - واتسون استاندارد باشد .

یک زنجیر مارکف با فضای حالت صحیح و نامنفی است .

همچنین وضعیت صفر ، وضعیت جاذب است و احتمال تغییر وضعیت یک مرحله ای مانا است .

تعریف 1-2-2 : برای فرآیند شاخه ای گالتون - واتسون استاندارد تابع مولد احتمال نسل nام را با نمایش داده و تعریف می کنیم : (1-5) بنابراین خواهیم داشت : (1-6) یعنی توزیع را یافته ایم .

لم 1-2-2 : برای فرآیند شاخه ای گالتون - واتسون استاندارد به همواره رابطه زیر برقرار است : (1-7) لم 1-2-3 : با شرایط لم (1-2-2) برای هر رابطه زیر برقرار است : (1-8) (1-9) اگر به جای داشته باشیم آنگاه و (1-10) زیرا با فرض رابطه (1-7) برقرار است .

اما رابطه (1-8) و (1-9) دیگر برقرار نخواهد بود.

رابطه (1-8) به ازاء برقرار خواهد بود .

از این به بعد فرض می کنیم ، مگر آنکه عکس این مطلب بیان شود .

لم 1-2-4 : فرض می کنیم و موجود و متناهی باشد آنگاه : آ : (1-11) یعنی رشد متوسط جمعیت نمائی است .

ب: = (1-12) تعریف 1-2-3 : احتمال انقراض در نسل n ام را با نمایش می دهیم و برابر است با : (1-13) از رابطه (1-13) به راحتی به دست می آید : (1-14) زیرا : لم 1-2-5 : فرض می کنیم فرآیند شاخه ای گالتون - واتسون استاندارد باشد و احتمال انقراض در نسل n ام باشد ، در این صورت موجود است .

که در آن q کوچکترین ریشه مثبت معادله می باشد .

تعریف 1-2-4 : q را احتمال انقراض نهائی می نامیم و تعریف می کنیم : (1-15) لم 1-2-6 : برای هر فرآیند گالتون - واتسون استاندارد رابطه زیر برقرار است .

(1-16) که در آن لم 1-2-7 : برای هر فرآیند شاخه ای گالتون - واتسون استاندارد داریم : (1-17) تعریف 1-2-5 : در فرایندشاخه ای گالتون - واتسون استاندارد ، را به شکل زیر تعریف می کنیم به طوریکه لم 1-2-8 : در یک فرآیند شاخه ای گالتون - واتسون استاندارد ، دنباله یک مارتینگل است .

لم 1-2-9 : در یک فرآیند شاخه ای گالتون - واتسون استاندارد ؛ وقتی ، دنباله به صورت a.s.

، همگرا به یک متغیر تصادفی متناهی و نامنفی مانند w است .

برهان : یک مارتینگل است پس با توجه به قضیه همگرائی مارتینگلها یک متغیر تصادفی متناهی مانند w موجود است به طوریکه : فصل دوم فرآیند های شاخه ای گالتون - واتسون دوجنسی (GWBP) تعاریف و خصوصیات اصلی 2-1- فرآیند های شاخه ای گالتون - واتسون دوجنسی (GWBP) 2-2 توابع خانواده زیر جمعی 2-3 فرآیند شاخه‌ای زوجهای هم خانواده مقدمه : در این فصل ابتدا تعریف فرآیند های شاخه ای گالتون - واتسون را می آوریم سپس به خصوصیات اصلی و پارامترهای آن می پردازیم .

در ادامه تابع خانواده زیر جمعی را تعریف می کنیم و در نهایت فرآیند شاخه‌ای زوجهای هم خانواده را بررسی می کنیم هدف کلی از این فصل درک مفاهیم کلی درباره فرآیند های شاخه ای گالتون - واتسون دوجنسی که تابع خانواده زیر جمعی دارند می باشد .

2-1-فرآیند های شاخه ای گالتون - واتسون دو جنسی (GWBP) فرآیند های شاخه ای گالتون - واتسون دوجنسی را می توان به صورت زیر خلاصه نمود : تولید مثل موفق یک روند تکاملی شامل تعداد زنان و تعداد مردان می باشد که زوج را تشکیل می دهند که در آن یک تابع با مقدار عددی صحیح و غیرمنفی که بر حسب غیرنزولی است فرزندان زوج تشکیل نسل ام را می دهند ، به طوریکه که در هر نسل زوجها به طور مستقل تولید مثل می کنند .

به طور کلی گروه (GWBP) شامل 4 پارامتر زیر می باشد .

1-تعداد زوجها در نخستین نسل را برابر می گیریم .

2-تابع خانواده را با L نشان می دهیم .

3-قانون احتمال تولید مثل را با نشان می دهیم به این معنی که احتمال اینکه یک زوج اختیاری n فرزند داشته باشد برابر است .

4-احتمال این را که یک فرد متولد شده مذکر باشد با نشان می دهیم .

دالی در سال 1968 نشان داد که یک زنجیر مارکوف با احتمال انتقال تک مرحله ای است .

فضای حالت از اعداد صحیح غیرمنفی تشکیل می شود حالت صفر وضعیت جاذب و بقیه حالات وضعیت