دانلود تحقیق ریاضیات مهندسی

ریاضیات مهندسی:
فصل اول: بررسی های فوریه:
مقدمه: تفکیک یک تابع به چند جزء مختلف و یا بسط آن به یک سری گسترده از توابع دارای بورد کاربردی مختلف در ریاضی و فیزیک است، یکی از این موارد بسط توابع برحسب مجموعه ای از توابع هارمونیک مثلثاتی با فرکانسها و دامنه ای مختلف است.

در این فصل ضمن آشنایی قدم به قدم به اصول این روش با کاربردهای حاصل از آن نیز آشنا می شویم.

1-1- توابع متناوب: اگر شکل تابع در فواصل منظم تکرار شود آنرا تناوب گوئیم.

در مورد یک تابع متناوب می توان نوشت:
(1) f (x+T) = f(x)
در این رابطه f تابعی از متغیر x و دوره تناوب T می باشد.

براساس این تعریف ملاحظه می شود که اگر g,f توبام هم پریود باشند، تابعی که به صورت زیر تعریف می شود نیز با آنها هم پریود است.

(2) h = f + g
sin و cos از جمله توابع متناوبند.

Sin x 2
Cos x
مثال: دوره تناوب Sin x + 3 Cos x چقدر است؟

Sin x 2
Cos x 
بنابراین دوره تناوب تابع مذکور 2 می باشد.

به این ترتیب دوره تناوب مجموعه ای توابع به صورت زیر برابر 2 خواهد بود.

(3)f(x)=a.+a1cosx+a2cos2x+…+anconx+b.+b1sinx+b2Sin2x+…+bnSinx
در بخشهای بعد دیده می شود که می توان برای تابعی با دوره تناوب 2 ضمن محاسبه ظرائب a1 تا a2 یک سری مثلثاتی مثل رابطه (3) پیدا کرد.

مثال: کوچکترین دوره تناوب توابع زیر را بدست آورید:
الف) sinx ب) sin2x ج) sin2x د)
T=2 T= T=1 T=T
ه) sin2nx و) ز)
T=1/x T=T/n T=4
ح) ط) 3sin4x+cos4x
T=12 T=/4
1-2- توابع متاعد:
دو تابع f و g را در فاصله (a,b) عمود بر هم گوئیم هرگاه داشته باشیم:

که به اختصار آنرا به صورت (f.g)=0 نمایش می دهیم.

براین اساس:
(Cosmx, Sin nx)=0
(Sin mx, Sin nx)=0
(Cos mx, Sin mx)=0
در فاصله (0,2) تمام این توابع بر هم عمود هستند.

توابع تناوب را اعم از اینکه دارای دوره تناوب 2 باشد یا نباشد می توان برحسب توابع هامونیک cos, sin نوشت.

بسط حاصل از تفکیک یک تابع به اجزاء هارمونیکی یک سری فوریه می گوئیم.

اکنون به معرفی سری فوریه می گوئیم.

1-3-1- بسط توابع دوره تناوب 2
تابعی را با دوره تناوب 2 در نظر بگیرید.

این تابع را با سری مثلثاتی رابطه (3) می توان جایگزین کرد یعنی می توان نوشت:

برای اثبات این ادعا لازم است ضرائب a0، an و bn را محاسبه کنیم.

محاسبه این ضرائب با توجه به خاصیت متعاصر تابع های هارمونیکی قابل انجام است.

مثلا برای محاسبه an طرفین رابطه (8) را در cosx ضرب نموده و سپس انتگرال گیری نمائیم.

+

1-3-1- بسط تابع با دوره تناوب 2v

ضرائب a0، an و bn =؟

برای محاسبه a0 از طرفین T- تا T انتگرال می گوییم


برای تعیین ضرائب جملات کسینوسی طرفین را در Cosmx ضرب می کنیم و از –T تا T
انتگرال می گیریم.

تمامی جملات به جز جمله در حالتی که n,m باشد برابر صفرند و در حالت n,m مستقر برابر 2n است


برای تعیین جملات سینوسی، طرفین در Sinx ضرب

تمامی جملات بجز آنهم زمانی که m، n است برابر صفرند و در حالت m، n این جمله برابر 
: ضرائب فوریه مثال: سری فوریه را برای تابع زیر بیابید: - F(x)= 0 a0=0 n فرد باشد 2 1-cos= n زوج باشد 0 B4=0 63=4k/3 b2=0 61=4k/ F(x)=4k/(sinx+1/3sinx+1/5sin5x+…) 1-3-2- بسط توابع با دوره تناوب دلخواه: تابعی مانند fT(t) را که در یک تناوب در فاصله (4/ و 4/-) واقع شده را در نظر بگیرید.

با تغییر متغیر T/2t= x تابعی به صورت f(x) بدست می آید که دارای دوره تناوب 2 است.

4/T =t متناظر است با = x برای تابع f(x) با دوره تناوب 2 سری فوریه بدست آورده شد.

اگر به جای x در این رابطه متناظرش را قرار دهیم: مثال: برای موج سینوسی با فرکانس w که در قسمت منفی آن حذف شده است، بسط فوریه را بدست آورید: -/w F(t)= 0 n=1 E0/2 bn= به همین ترتیب n1 0 مثال: مطلوبست محاسبه بسط فوریه که در فاصله (-2,2) به صورت زیر تعریف شده است: f(t)= 4-t2 -2 T= 4 = 4 را ازاین رابطه محاسبه کنید: تمرین: برای توابع زیر که دارای دوره تناوب 2 هستند و در فاصله (1 و 1-) تعریف شده اند سری فوریه را بیابید: f(x)= Sgn (x)(الف f(x)= U (x)(ب f(x)= x(ج f(x) = x (و f(x)= x2(هـ f(x)= Sinx(و قضیه: سری فوریه یک تابع متناوب یکی است.

بنابراین از هر روشی که به سری فوریه یک تابع برسیم، در تابع یک سری فوریه منحصر به فرد برای یک تابع متناوب خواهیم داشت.

1-4- توابع زوج و فرد و یک سری فوریه f(-x) = f(x) : تابع زوج f (-x)= - f(x): تابع فرد سایر توابع نه زوج و نه فرد هستند.

مانند ex یا 1+x اگر O(x) یک تابع فرد و E(x) یک تابع زوج و f(x) نه زوج و نه فرد باشد آنگاه: o1+o2=o3 E1+E2=E3 O+E=f O1-O2=E O1.E=O2 E1.E2=E3 این خصوصیات هیچ شباهتی به خاصیت اعداد زوج و فرد ندارد.

براساس تعریف تابع های زوج و فرد توابع Sinx و Cosx به ترتیب فرد و زوج محسوب می شوند.

اگر f(t) تابعی زوج باشد T/ f(t) cos 2nt یک تابع زوج است.

بنابراین ضرائب an به این صورت محاسبه می شوند: f(t).

Sin 2nt/T یک تابع زوج * یک تابع فرد فرد bn برابر صفر است به همین صورت اگر f(t) فرد باشد قضیه: ضرائب فوریه مجموعه 2f + 1f برابر با مجموعهای ضرائب متناظر 1f و 2f هستند و ضرائب فوریه cf برابر C ضرب در ضرائب فوریه متناظر f هستند.

مثال: بسط فوریه تابع متناوب f(x)= +x که در یک دوره تناوب در فاصله (-,) است را بدست آورید.

T= 2 تابع f(x) را می توان به صورت مجموع دو تابع f1(x)= و f2(x)=x نوشت.

چون عدد ثابتی است پس بسط فوریه f1(x) همان می شود.

اکنون بسط فوریه تابع f2(x) را که یک تابع فرد است بدست می اوریم: تمرین: سری فوریه توابع زیر را بدست آورید: f(x)= 1+Sgn (x) T=2 -1 1-5- شکلهای مختلف نمایش سری فوریه: سری فوریه را می توان به کمک توابع نمایی نمایش داد.

از مقایسه این دو رابطه می توان فهمید که f0 همان a0 است.

روابط محاسبه ضرائب بسط را می توان به طور مشابه با جایگزینی عبارات نمایی به جای روابط مثلثاتی بدست آورد.

در نهایت می توان با تغییر متغیر =2t/T رابطه فوق را برای تابعی با دوره تناوب دلخواه T تعمیم داد.

مثال: سری فوریه مختلط f(x)=ex را اگر سری های مثلثاتی می توان به صورت مجموع عبارتهای مثلثاتی با دامنه و فاز مجزا نمایش داد.

جمله x ام یک سری فوریه مثلثاتی AnConw0t+BnSin nw0+ اگر این جمله را طبق قاعده فوق مرتب نمائیم: An و Bn همچنان از روابط مربوط به خودشان پیدا می شوند 1-6- بسط نیم دور: به روشهای مختلف می توان تابعی را که در فاصله محدودی تعریف شده است را به صورت متناوب گسترش داد به عنوان مثال تابع شکل زیر را می توان به صورت شکلهای توابع متناوب نمایش داد: به طوری که ملاحظه می شود اولا هر دو تابع در فاصله (0,a) شبیه تابع اصلی است و ثانیا هر دو متناوب هستند.

برای استفاده از مزایایی سری فوریه حتی توابع غیر متناوب را در محدوده معین به صورت یک تابع پریودیسک در نظر گرفته و آن را به با یک سری جایگزین می نمائیم از میان شکلهای دوره ای مختلف که می توان برای تناوبی کردن یک نتایج در نظر گرفت، دو صورت زوج و فرد به دلیل سادگی بیشتر مورد توجه است.

سری فوریه ناشی از این اشکال را بسط نیم دور سینوسی یا کسینوسی می نامند.

براساس نتایج بخش قبل در مورد توابع زوج و فرد، ملاحظه می شود که برای تابعی که در فاصله (0,f) تعریف شده، سری فوریه مثلثاتی زوج به صورت زیر است: که ضرائب an,a0 از روابط زیر پیدا می شوند.

و به طور مشابه برای بسط نیم دور سینوسی داریم: مثال: در x=1/2 ترتیب تابع f(x)=x را از طریق بسط نیم دور سینوسی و کسینوسی بدست آورید: الف) برای بسط زوج داریم: بنابراین: f(x)= ½- 4/2 (Cox+1/32cos3x+1/525x+0x) f(1/4)= 1/4 برای بسط فرد داریم: انتگرال فوریه: در بخش های قبل ملاحظه شد که یک نوسان پریودیک را می توان به مجموع نوسانهای هارمونیک با فرکانس 2x/T یا nw تفکیک نمود و برای هر مقدار n دامنه های an و bn را توسط روابط اوید محاسبه کرد.

از آنجا که بسیاری از مسائل عملی شامل توابع نا دوره ای هستند، این پرسپ پیش می آید که چه کاری می توان کرد تا روش سری های فوریه به این گونه توابع تعمیم یابد؟

اکنون تابع f(x) با دوره تناوب 2f را در نظر بگیرید.

بررسی می کنیم که اگر L بدست سیل کند برای سری فوریه چه پیش می آید.

به عنوان مثال فرض کنید تابع fL(x) با دوره تناوب 2L>2 به صورت زیر مشخص شود.

چون تابع fL(x) یک تابع زوج است.

پس به ازای هر n داریم bn=0 و برایan ها از فرمول اویر داریم: این دنباله ضرائب فوریه را طیف دامنه fL می نامند.

زیرا: an max (anCosnaL) همان طور که ملاحظه می شود با افزایش L دامنه ها روی محور wn به سمت محور قائم منقبض می شوند.

درصو وقتی wn به سمت صفر می رود، این طیف پیوسته به منحنی پیوسته ای مبدل خواهد شد an(wn) به A(w) و سری فوریه به انتگرال فوریه تبدیل می شود.

اکنون به استخراج انتگرال فوریه می پردازیم: تابع fL(x) با دوره تناوب 2L را در نظر بگیرید که سری فوریه آن به شکل زیر است.

خواهیم دید که اگر f آنگاه با یک انتگرال فوریه به جای سری فوریه خواهیم داشت که شامل coswn و sinwn باشد و w در آن دیگر محدود به نصارب /L نباشد، بلکه تمام مقدار را اختیار می کند.

اگر در بسط فوریه تابع fL(x) مقادیر an و bn را از فرمولهای اویر جایگزین نمائیم: این رابطه به ازای هر مقدار شخص L هر قدر بزرگ ولی متناهی برقرار است.

حال اگر L بدست میل کند در این صورت: 0 L/1 و مقدار جمله اول برابر صفر خواهد شد و نیز w=/L نیز به سمت صفر خواهد کرد و بنابراین سری نامتناهی فوق به صورت انتگرالی از صفر تا در می آید که f(n) را نمایش می دهد.

جایگزین می کنیم: و بنابراین خواهیم داشت: این نمایش f(n) به صورت انتگرال فوریه همان طور که در مورد سری فوریه بیان شد، انتگرال فوریه نیز برای توابع زوج و فرد ساده تر می شود.

در واقع اگر f(x) تابعی زوج باشد آنگاه و اگر f(x) تابعی فرد باشد: اگر از سری فوریه نمایی استفاده کنیم می توان نوشت: حال اگر T به سمت بی نهایت میل کند T: رابطه که تبدیل فوریه را بیان می کند شبیه تبدیل لاپلاس و در واقع حالت ویژه آن است.

مفهوم فرکانس منفی در کلیه روابط فوق به اندازه مفهوم زبان منفی غیر واقعی و مجازی است.و نیز شرط وجود انتگرالهای تبدیلات با توجه به اینکه در تمام انتگرالها اندازه بخش هارمونیک حداکثر یک است، آن است که داشته باشیم: مثال: برای تابع غیر پریودیک داده شده انتگرال فوریه cos را محاسبه کنید: برخی از کاربردهای سری فوریه: یک سیستم ساده مکانیکی شامل تر متصل به جرمی را در نظر بگیرید.

هرگاه نیروی f(t) به این سیستم اعمال شود، معدلات حرکت آن را در وضعیتی که به اندازه x جا به جا می شود و دارای کتاب x می باشد به صورت زیر می توان نوشت: هرگاه f(t) یک تحریک هارمونیک باشد، پاسخ دائمی x این معادله هارمونیک ارتعاش هارمونیک است زیرا اگر داشته باشیم f(t)=f0Sinwt با جایگزین کردن حدس جواب به صورت x=Xsinwt با توجه به اینکه در این حالت xn=-xwzSinwt با جایگزاری در معادله Sinwt از طرفین و رابطه دامنه با سایر پارامترها مطابق زیر بدست می آید.

KXSinwt-mwzSinwt=f0Sinwt X=F0/k-mwz و بنابراین پاسخ مستقیم به صورت x(t)=F0/k-mwz Sinwt به دلیل خطی بودن این معادله، پاسخ سیستم به چند تحریک مختلف، حاصل جمع پاسخ آن به هریک از تحریک ها می باشد مثلا اگر سیستم توسط دو نیرو با فرکانس های 1w و 4w تحریک شود، پاسخ آن به صورت زیر می باشد: بدین ترتیب پاسخ دائمی یک سیستم به