دانلود مقاله کاربرد کامپیوتری بردارهای رتیز وابسته به بار، خصوصیات همگرایی و بسط آن به حالتهای عمومی تر بارگذاری

فصل اول
مقدمه
توسعه و رشد سریع سرعت کامپیوترها و روشهای اجزای محدود در طی سی سال گذشته محدوده و پیچیدگی مسائل سازه ای قابل حل را افزایش داده است.

روش اجزای محدود روش تحلیلی را فراهم کرده است که امکان تحلیل هندسه، شرایط مرزی و بارگذاری دلخواه را به وجود آورده است و قابل اعمال بر سازه‌های یک بعدی، دو بعدی و سه بعدی می‌باشد.

در کاربرد این روش برای دینامیک سازه‌ها ویژگی غالب روش اجزای محدود آن است که سیستم پیوسته واقعی را که از نظر تئوری بینهایت درجه آزادی دارد، با یک سیستم تقریبی چند درجه آزادی جایگزین نماید.

هنگامی که با سازه‌های مهندسی کار می‌کنیم غیر معمول نمی‌باشد که تعداد درجات آزادی که در آنالیز باقی می‌مانند بسیار بزرگ باشد.

بنابراین تأکید بسیاری در دینامیک سازه برای توسعه روشهای کارآمدی صورت می‌گیرد که بتوان پاسخ سیستم‌های بزرگ را تحت انواع گوناگون بارگذاری بدست آورد.

هر چند اساس روشهای معمولی جبر ماتریس تحت تأثیر درجات آزادی قرار نمی‌گیرند، شامل محاسباتی و قیمت به سرعت با افزایش تعداد درجات آزادی افزایش می‌یابند.

بنابراین بسیار مهم است که قیمت محاسبات در حد معقول نگهداشته شوند تا امکان تحلیل مجدد سازه بوجود آید.

هزینه پایین محاسبات کامپیوتری برای یک تحلیل امکان اتخاذ یک سری تصمیمات اساسی در انتخاب و تغییر مدل و بارگذاری را برای مطالعه حساسیت نتایج، بهبود طراحی اولیه و رهنمون شدن به سمت قابلیت اعتماد برآوردها فراهم می‌آورد.

بنابراین، بهینه سازی در روشهای عددی و متدهای حل که باعث کاهش زمان انجام محاسبات برای مسائل بزرگ گردند بسیار مفید خواهند بود.

استفاده از بردارهای ویژه، برای کاهش اندازه سیستمهای سازه‌ای یا ارائه رفتار سازه به وسیله تعداد کمی از مختصاتهای عمومی (تعمیم یافته) – در فرمول بندی سنتی – احتیاج به حل بسیار گرانقیمت مقدار ویژه دارد.

یک روش جدید از تحلیل دینامیکی که نیاز به برآورد دقیق فرکانس ارتعاش آزاد و اشکال مدی ندارد اخیراً توسط ویلسون Wilson یوان (Yuan) و دیکنز (Dickens) (1.17) ارائه شده است.

روش کاهش، بردارهای رتیز وابسته به بار Wyo Rity racter) که O, Y, W (حروف اختصاری نویسندگان) بر مبنای برهم نهی مستقیم بردارهای رتیز حاصل از توزیع مکانی و … بارهای تشخیص دینامیکی می‌باشد.

این بردارها در کسری از زمان لازم برای محاسبه اشکال دقیق مدی، توسط یک الگوریتم بازگشتی ساده بدست می‌آیند.

ارزیابی‌های اولیه و کاربرد الگوریتم در تحلیل تاریخچه زمانی زلزله نشان داده است که استفاده از بردارهای رتیز وابسته به بار منجر به نتایج قابل مقایسه یا حتی بهتری نسبت به حل دقیق مقدار ویژه شده است.

در اینجا هدف ما تحقیق در جنبه‌های عملی کاربرد کامپیوتری بردارهای رتیز وابسته به بار، خصوصیات همگرایی و بسط آن به حالتهای عمومی تر بارگذاری می‌باشد.

به علاوه، استراتژی‌های توسطعه برای تحلیل دینامیکی زیر سازه‌های چند طبقه و سیستمهای غیر خطی ارائه خواهد شد.

نیز راهنمایی‌هایی برای توسعه الگوریتمهای چند منظوره Fortran برای ایجاد بردارهای رتیز تهیه شده است و برای بررسی صحت به چند سازه واقعی اعمال شده اند.

فصل اول الگوریتمهای پایه را بر اساس کارهای ویلسون و همکاران و نیز مقداری از اصول اساسی کاربرد بردارهای رتیز در دینامیک سازه‌ها را توصیف می کند.

همچنین تأثیر مدلسازی ریاضی اجزای محدود که به وسیله مشخصات معین جرم، سختی و بارگذاری تعریف می‌شود.

بر روی ایجاد بردارهای رتیز وابسته به بار، ارائه می شود.

فصل دوم رابطه ای بین روش Lanczol و بردارهای رتیز وابسته به بار ایجاد می کند.

نشان داده می شود که الگوریتم ایجاد بردارهای رتیز وابسته به بار مشابه الگوریتم ایجاد بردارهای Lanczo می باشد.

هر چند هدف از بکارگیری بردارهای رتیز وابسته به بار بدست آوردن روش حال مقدار ویژه صحیح نیست بلکه به کارگیری اصول برداری به منظور کاهش اندازه و عرض باند سیستمهای سازه‌ای برای حل معادلات می باشد.

روش بردارهای رتیز وابسته بار گسسته سازی کامل معادلات تعادل را انجام نمی دهد اما ثابت شده که بسیار کارآمدتر از روش سنتی حل مقدار ویژه است و این در حالتیکه در چه صحت بسیار مناسبی هم دارد.

فصل سوم توسعه ای برای تخمین خطا به منظور به کارگیری مقدار مناسب بردارهای رتیز برای همگرایی رضایت بخش پاسخ دینامیکی و نیز ایجاد رابطه بین بردارهای رتیز وابسته به بار سیستمهای کاهش یافته و حل مقدار ویژه سیستمهای اصلی، ارائه می نماید.

تأثیر روندهای مختلف جمع برداری مانند شتابهای مودی و تصحیح استاتیکی نیز با رفتار بردارهای رتیز وابسته به بار مقایسه می شوند.

فصل 4 توسعه الگوریتمی جدید – الگوریتم بردارهای رتیز وابسته به بار LWYO برای ایجاد بردارهای وابسته به بار را ارائه می نماید که نشان داده می شود کار الگوریتم بردارهای رتیز LWYO نتایج پایدارتری نسبت به بردارهای رتیز WYD ارائه می نماید.

کاربرد بردارهای رتیز LWYO همچنین اجازه کنترل بهتری بر تأثیر صحیح استاتیکی نسبت به بردارهای رتیز WYD فراهم می کند.

فصل پنجم کاربرد عملی بردارهای رتیز در مهندسی زلزله را بررسی می کند.

روش تحلیل طیف پاسخ برای دو مدل سازه ای با تقریبا 150 درجه آزادی دینامیکی به کار گرفته شده است.

کارایی محاسباتی بردارهای رتیز و حل مقدار ویژه مقایسه شده اند.

فصل ششم روش فرمول بندی برای توسعه روش کاهش رتیز به ازای انواع الگوهای بارگذاری عمومی که بار تابعی از زمان و مکان است را ارائه می نماید.

فصل 7 به کاربرد بردارهای رتیز وابسته به بار در زیر سازه‌های چند طبقه می پردازد که دو رهیافت بررسی می شوند.

فصل 8 بر روی استفاده از بردارهای رتیز برای سیستمهای غیر خطی دینامیکی تمرکز می کند که چندین استراتژی حل هنگام استفاده از بردارهای رتیز وابسته به بار مانند روش کاهش مختصات ارائه می شود.

سپس بر روی سازه‌هایی که دچار غیر خطی شدن محلی می گردند تمرکز می شود.

1-1- روش جداسازی دو مرحله ای در تحلیل سازه‌ها گام اول در تحلیل سازه‌ها با استفاده از اجزای محدود جداسازی سازه به منظور بدست آوردن مشخصات سختی، جرم میرایی سازه برای استفاده در معادلات تعادل دینامیکی (حرکت) می باشد.

سپس جداسازی جدیدی با استفاده از ترکیب توابع شکل مستقل عمومی و خطی، که از مدلسازی قبلی بدست آمده اند، برای مشخص کردن پاسخ سازه، قابل انجام می باشد.

روش کاهش دوم برای تحلیل استاتیکی خطی جالب توجه نمی باشد زیرا برای این تحلیل تنها یک گام لازم می باشد.

هر چند این کاهش دوم برای تحلیل غیر خطی استاتیکی و نیز خطی و غیر خطی دینامیکی که چندین گام باید انجام شود و در هر گام سیستمی از معادلات خطی و غیر خطی حل شود، مناسب می باشد.

1-1-1- جدسازی مسائل خطی دینامیکی به وسیله برهم زدن مستقیم برداری مطالعه مشخصات تغییر شکل بر اثر بارهای استاتیکی و تاریخچه زمانی پاسخ تعدادی سازه پیچیده تعداد زیادی از درجات آزادی باقی مانده در تحلیل غالباً توسط توپولوژی ساختمان دیکته می شود تا توسط پیچیدگی رفتار مورد انتظار.

معمولاً هندسه سازه اجازه جداسازی به تعداد کمی المان نمی دهد اما می توان رفتار را به وسیله تعداد کمی درجات آزادی مشخص نمود.

این مطلب به طور کلی در مورد مسائل دینامیک سازه مانند تحلیل زلزله – که مطالعات آنالیز مودال بر روی محتوای فرکانس توزیع مکانی تحریک نشان داده اند، پاسخ، با تعداد نسبتا کمی از مودهای فرکانس پایین کنترل می شود درست می باشد.

در مورد تحلیل تحریکات ارتعاشی، فقط تعداد کمی از فرکانسهای متوسط ممکن است تحریک شوند.

هر چند در مورد سیستمهای تحریک شده چند گانه (multi shock excited systems) اندر کنش مودهای مربوط به فرکانس‌های متوسط و بالا ممکن در طی بازده زمانی مورد بررسی اهمیت خود را حفظ نمایند.

تغیر مبدأ از سیستم مختصات اصلی به سیستمهای مختصات مووال عمومی.

که در فرمول بندی سنتی حل مسائل بزرگ مقدار ویژه مورد نیاز است، هنگامی جالب توجه است که تعداد مودهای دارای اندرکنش نسبت به درجات آزادی اصلی کم باشند.

در حالت کلی روش تحلیل اجزای محدود، کمترین فرکانسهای دقیق را بسیار خوب تخمین می زند در حالیکه وقت کم یا عدم دقت و صحت برای تقریب شکل مودهای بالاتر و فرکانس‌های بالاتر مورد انتظار می باشد.

این به علت این حقیقت می باشد که مودهای بالاتر طبیعت بسیار مغتششی دارند که ارائه آنها توسط اندازه مش بندی عملی انجام شده برای محاسبات مهندسی مشکل می باشد.

بنابراین توجیه کمی برای بکارگیری پاسخ دینامیکی اشکال مودهای با فرکانس بالا، در تحلیل وجود دارد.

به طور ایده‌آل مش‌های اجزای محدود باید به گونه‌ای انتخاب شود که اشکال مودی مربوط به فرکانسهای مهم ارتعاش به بهترین صورت تخمین زده شوند و سپس راه حل را می توان با در نظر گرفتن پاسخ این مودها بدست آورد.

این مطلب با تحلیل برهم نهی برداری، با توجه به مودهای مهم اجزای محدود، قابل انجام می‌باشد.

برآورد فرکانسهای طبیعی اشکال مودی برای سیستم‌های سازه ای بزرگ احتیاج به مقدار قابل توجهی عملیات عددی دارد.

هر چند همانطور که توسط ویلسون و همکاران (1-17) اشاره شده است، ممکن است اهمیت مستقیم این اطلاعات در مهندسی ارزش محدودی داشته باشد.

مقادیر فرکانسی بیانگر وضعیتهای محتمل تشدید و اشکال مدی وابسته به فرکانسهای کم نشانگر این مطلب می باشند که کدام قسمتهای سازه انعطاف پذیرترین قسمتها می باشند.

در اکثر موارد مقادیر تقریبی هم می توانند این اطلاعات را فراهم کند.

در انجام اغلب تحلیلها، تنها دلیل برآورد بردارهای ویژه کامل و دقیق به علت استفاده جایگزین آنها برای کاهش اندازه سیستم در یک تحلیل بر هم نهی می باشد.

2-1- استفاده از بردارهای رتیز در دینامیک سازه‌ها 1-2-1- روش ریلی برای سیستمهای تک درجه‌ آزادی ایده اساسی در روش ریلی که برای تقریب فرکانس ارتعاش یک سیستم تک درجه آزادی استفاده می شود اصل ثبات انرژی (نگهداری) می باشد.

انرژی در یک سیستم با ارتعاش آزاد اگر نیروی میرایی برای جذب آن وجود نداشته باشد باید ثابت بماند.

بنابراین ماکزیمم انرژی کرنشی در سازه الاستیک باید برابر ماکزیمم انرژی جنبشی جرم باشد.

این روش قابل اعمال به هر سیستم چند درجه آزادی که قابل بیان به صورت سیستم تک درجه آزادی توسط استفاده از اشکال تغییر مکانی فرضی رتیز {x} باشد، می باشد.

(1.1) که در اینجا K*= سختی کلی (عمومی): M* = جرم کلی (عمومی): = فرکانس تقریبی ارتعاش می باشند.

2-2-1- تحلیل ریلی – رتیز برای سیستمهای چند درجه‌ آزادی بسط رتیز از روش ریلی که به عنوان تحلیل ریلی – رتیز شناخته می شود به طور گسترده ای برای پیدا کردن تقریبی از کوچکترین مقادیر ویژه و بردارهای ویژه متناظر یک مسأله ارتعاش آزاد استفاده شده است.

(1.2) که در این رابطه [M],[K] ماتریس‌های سختی و جرم و بردارهای ویژه و مقادیر ویژه یا مجذور فرکانسهای سیستم می باشند.

بردارهای ویژه را می توان توسط تعدادی تابعهای سعی مجزای{Xi} تقریب زد بگونه ای که [1.3] که {xi}‌ها توابع شکلی عمومی از قبل تعریف شده سیستم مختصات اصلی می باشند که بردارهای رتیز نامیده می شوند و Yi‌ها دسته ای از پارمترها می باشند.

مختصاتهای رتیز که مشخص کننده سهم مشارکت هر بردار رتیز در حل می باشند.

بردارهای رتیز در (کسترمم) فرم اساس خارج قسمت رایلی جایگزین می شوند و دسته از Yiها، که مقادیر ثابتی بدست می دهد، جستجو می گردند.

(روند این کار را می توان در منابع 1.2 و 1.7 یافت) باقی مانده رایلی را می توان به صورت زیر نوشت.

[1.4] [K]* = [X]T[K][X] [M]* = [X]T[M][X] وضعیت پایدار منجر به حل مسأله مقدار ویژه زیر می گردد.

[1.5] بنابراین تقریب بردارهای ویژه به صورت می گردد.

مسأله مقدار ویژه کاهش یافته ]معادله [(1.5) باعث رسیدن به r فرکانس تقریبی، ، و اشکال مدی متناظر آنها می گردد، می توان نشان داد.

r مقدار ویژه حاصل از تقریب ریلی رتیز حد بالای مقادیر ویژه ناشی از حل دقیق می باشند.

روند تراکم استاتیکی، ترکیب مؤلفه ای مد، تکرار زیر فضا، و سایر روشهای گوناگون می توانند به عنوان تحلیل رتیز درک شوند.

تکنیکها تنها در انتخاب بردارهای اساسی رتیز که در تحلیل فرض می شود تفاوت می کنند.

روند رتیز می تواند در فرمول بندی اجزای محدود برای کاهش تعادل دینامیکی استفاده شود.

معادلات تعادل دینامیکی برای مدل اجزای محدود و با در نظرگیری {u} که بردار تغییر مکان گروهی است به صورت زیر نوشته می شود.

[1.6] که در اینجا [M] و [C] و [K] ماتریسهای مربعی nxn برای جرم، میرایی و سختی هستند و {f(s,t)} بردار بارگذاری دینامیکی تحلیل شده بر سازه می باشد که تابعی از فضا و زمان می باشد.

علامت نقطه بیانگر مشتق نسبت به زمان می باشد.

بردار تغییر مکان گرهی را می توان توسط ترکیبی خطی از r بردار مستقل خطی رتیز، که r بسیار کوچکتر از n است، به صورت زیر تقریب زد.

[1.7] که {Xi} بردارهای مستقل پایه و Yi(t) پارامترهای ناشناخته ای هستند که از حل یک سیستم کاهش یافته به صورت زیر بدست می آیند.

[1.8] هدف از این انتقال بدست آوردن ماتریس جدید سختی، جرم و میرایی یعنی [K]* و [M]* و[C]*