مقدمه : پایه ریاضیات نوین عدد است.
اما عدد چیست؟
اینکه می نویسیم ، و یا 1= (1)(1)، چه معنایی دارد؟
در مدرسه طرز کار کردن با کسرها و عددهای منفی را می آموزیم، اما برای فهم واقعی دستگاه اعداد باید به عقب برگردیم و از عناصر ساده تری شروع کنیم.
یونانیان باستان مفاهیم هندسی نقطه و خط را پایه ریاضیات در نظر می گرفتند، اما اصل راهنما در ریاضیات نوین این است که همه گزاره های ریاضی باید سرانجام قابل تحویل به گزاره هایی درباره عددهای طبیعی 1، 2، 3، ...
باشند.
خداوند اعداد طبیعی را آفرید، مابقی کار انسان است.» لئوپولدرکرونکر[1] (1823-1891) با این بیان، پایه قابل اطمینانی را که ساختمان ریاضیات می تواند روی آن بنا شود، نشان داد.
عدد که ذهن انسان آن را برای شمارش اشیای دسته های گوناگون ابداع کرد، به مشخصات انفرادی چیزهای شمارش شده ارتباطی ندارد.
عدد شش از همه مجموعه های واقعی که شامل شش چیزند منتزع شده است، و به هیچ یک از کیفیات خاص این چیزها یا به نمادهای به کار رفته بستیگی ندارد.
خصوصیت انتزاعی مفهوم عدد تنها در مرحله پیشرفته ای از رشد فکری برای شخص روشن می شود.
برای کودکان، عددها همیشه مربوط به چیزهای ملموس و عینی مانند انگشتان دست یا مهره ها هستند، و زبانهای ابتدائی با انتساب مجموعه های گوناگون از نامهای عددی به انواع گوناگون چیزها، مفهومی عینی از عدد را نشان می دهند.
خوشبختانه لازم نیست که ریاضیدان در کارش دغدغه ای درباره جنبه فلسفی گذار از مجموعه های اشیای عینی به مفهوم انتزاعی عدد داشته باشد.
بنابراین، ما فرض می کنیم که عددهای طبیعی همراه با دو عمل بنیادی جمع و ضرب برای ترکیب کردن آنها، در دست اند.
بخش 1.
محاسبه با عددهای صحیح 1.
قانونهای حساب نظریه ریاضی عدد های طبیعی یا عدد های مثبت، حساب نامیده می شود.
علم حساب مبتنی بر این واقعیت است که قانون های معینی بر جمع و ضرب عددهای صحیح حاکم اند.
برای بیان این قانونها به کلیترین صورت، نمی توان از نمادهایی مانند 1، 2، 3 که به اعداد خاصی اشاره دارند استفاده کرد.
حکم 1 + 2 = 2 + 1 فقط حالت خاصی از این قانون کلی است که مجموع دو عدد صحیح به ترتیب جمع کردن آنها بستگی ندارد.
پس وقتی می خواهیم این مطلب را بیان کنیم که رابطه ای بین اعداد صحیح به طورکلی، نه عددهای صحیح خاصی، برقرار است، اعداد صحیح را به صورت نمادین با حروف a، b، c، ...
نشان می دهیم.
با این قرارداد، می توانیم پنج قانون بنیادی حساب را که خواننده با آنها آشناست بیان کنیم : 1) a + b = b +a 2) ab = ba 3) a + (b+c) = (a+b) + c 4) a (bc) = (ab) c 5) a (b + c) = ab + ac مضمون دو قانون اول، موسوم به قانونهای تعویض پذیری جمع و ضرب، این است که می توان جای عوامل را در جمع و ضرب تعویض کرد.
قانون سوم، قانون شرکت پذیری جمع، گویای آن است که در جمع سه عدد، خواه مجموع عددهای دوم و سوم را به اولی بیفراییم و خواه عدد سوم را با مجموع اولی و دومی جمع کنیم، حاصل جمع تفاوت نمی کند.
قانون چهارم، قانن شرکت پذیری ضرب است.
و پنجمین حکم، قانون توزیع پذیری است که می گوید برای ضرب کردن مجموع دو عدد در یک عدد صحیح ، می توانیم هر یک از عوامل مجموع را در آن عدد صحیح ضرب کنیم و حاصلها را با هم جمع نماییم.
این قانونهای حساب بسیار ساده اند، ممکن است بدیهی به نظر برسند.
ولی در مورد موجوداتی بجز عددهای صحیح ممکن است صادق نباشند.
اگر نمادهای a و b معرف عددهای صحیح نباشند بلکه نماینده مواد شیمیایی باشند، و اگر « جمع» را به معنای محاوره ای اش یعنی «روی هم ریختن» به کار ببریم، آشکار است که قانون تعویض پذیری همواره برقرار نیست.
مثلاً اگر اسید سولفوریک را روی آب بریزیم، محلول رقیقی حاصل می شود، حال آنکه اگر آب روی اسید سولفوریک خالص ریخته شود ممکن است فاجعه ای برای آزمایشگر پیش آید.
با مثالهای مشابهی می توان نشان داد که در این نوع «حساب» شیمیایی، قانونهای شرکت پذیری و توزیع پذیری ممکن است برقرار نباشند.
پس می توان انواعی از حساب را تصور کرد که در آنها توزیع پذیری ممکن است برقرار نباشند.
در واقع، چنین نظامهایی در ریاضیات نوین مورد مطالعه قرار گرفته اند.
با یک مدل ملموس از مفهم انتزاعی عدد صحیح، می توان مبنای شهودی قانونهای 1)-5) را نشان داد.
به جای استفاده از نمادهای عددی معمولی 1، 2، 3، و غیره، عدد صحیحی را که معرف تعداد اشیاء در یک مجموعه مفروض است (مثلاً مجموعه سیبهای روی یک درخت خاص) با چند نقطه در درون یک آرایه مستطیلی نشان می دهیم، هر نقطه برای یک شیء.
با عملیاتی روی این مستطیلها می توانیم درستی قوانین حساب عددهای صحیح را تحقیق کنیم.
برای جمع کردن دو عدد صحیح a وb، مستطیلهای مربوط به آنها را کنار هم می گذاریم و ضلعهای مرزی بین آنها را حذف می کنیم.
برای ضرب کردن a و b، مستطیلهای مربوط به آنها را در یک ردیف قرار می دهیم و سپس آرایه مستطیلی تازه ای می سازیم که a سطر و b ستون مرکب از نقاط داشته باشد.
اکنون دیده می شود که قوانین 1) - 5) با ویژگیهای عملیات روی مستطیلها که از لحاظ شهودی واضح اند، همخوانی دارند.
برای ضرب کردن a و b، مستطیلهای مربوط به آنها را در یک ردیف قرار می دهیم و سپس آرایه مستطیلی تازه ای می سازیم که a سطر و b ستون مرکب از نقاط داشته باشد.
= × شکل2.
ضرب.
= ( + ) × شکل3.
قانون توزیع پذیری.
بر اساس تعریف جمع دو عدد صحیح، می توان رابطه نابرابری را تعریف کرد.
هر یک از دو گزاره هم ارز aa ( بخوانید « b بزرگتر از a است»)، به این معنی است که آرایه مستطیلی b را می توان با افزودن مستطیل درست انتخاب شده c به مستطیل a، به دست آورد به طوری که b = a + c، وقتی چنین است، می نویسیم : c = b – a و عمل تفریق به این طریق تعریف می شود.
= - شکل 4.
تفریق عملهای جمع و تفریق، عملهای وارون هم نامیده می شوند زیرا اگر پس از جمع کردن عدد صحیح d با عدد صحیح a، عدد صحیح d را از جمع کم کنیم عدد اولیه a به دست می آید : (a + d) – d = a باید توجه کرد که عدد صحیح b – a فقط به شرط b > a تعریف می شود.
تعبیر نماد b – a به صورت عدد صحیح منفی در صورتی که b بسیار از اوقات، برای بیان نفی گزاره a > b، مناسب است از نمادهای ( بخوانید « b ناکمتر [ناکوچکتر] از a است») یا ( بخوانید «a نابیشتر ]نابزرگتر] از b است» ) استفاده کنیم.
مثلاً 2 2 و 23.
می توانیم دامنه عددهای صحیح مثبت را، که با مستطیلهای حاوی نقاط نمایش داده شدند، کمی گسترش دهیم و عدد صحیح صفر را وارد کار کنیم که یک مستطیل کاملاً خالی نمایشگر آن است.
اگر این مستطیل خالی را با نماد رایج 0 نشان دهیم آنگاه طبق تعریفمان از جمع و ضرب ، به ازای هر عدد صحیح a داریم : a + 0 = a 0 = 0 a در اینجا a + 0 نشان دهنده جمع محتوای یک مستطیل خالی با مستطیل a است و 0 × a نشان دهنده آرایه ای مستطیلی است که هیچ ستونی ندارد.
یعنی مستطیل خالی.
پس طبیعی است که با قرارداد : a – a = 0 به ازای هر عدد صحیح a ، تعریف تفریق را گسترش دهیم.
اینها ویژگیهای حسابی مشخص کننده صفرند.
الگوهایی هندسی شبیه به این مستطیلهای حاوی نقاط، از قبیل ابزار قدیمی چرتکه، تا اواخر سده های میانه کاربرد گسترده ای در محاسبات عددی داشتند و کم کم روشهای نمادی مبتنی بر دستگاه اعشاری [دهدهی] که برتری بسیار بر آنها داشتند، جای آنها را گرفتند.
2.
نمایش عددهای صحیح میان یک عدد صحیح و نمادی که آن را نمایش می دهد، 5، V، ....، و غیره، باید به دقت تمایز قائل شویم.
در دستگاه اعشاری ]دهدهی] ، ده نماد 0، 1، 2، 3، ....
،9، برای نشان دادن صفر و نه عدد صحیح نخست به کار می روند.
عدد صحیح بزرگتری مثل « سیصد و هفتاد و دو» را می توان به صورت : 2 + 10 × 7 + 102 × 3 = 2 + 70 + 300 بیان کرد که در دستگاه اعشاری با نماد 372 نشان داده می شود.
نکته مهم در اینجا این است که معنی نمادهای رقمی، 3، 7، 2 به مکان آنها در عدد بستگی دارد.
یعنی قرار گرفتن آنها در مکان یکان، دهگان یا صدگان .
با این شیوه «عدد نویسی مکانی» [دستگاه شمار مکانی]، می توان هر عدد صحیح را فقط با استفاده از ده نماد رقمی که به صورتهای گوناگون ترکیب می شوند، نمایش داد.
قاعده کلی، بیان عدد صحیح به شکلی نظیر : d + 10 × c + 102 × b + 103 × a + z است که در آن، رقمهای a، b ، c، d عددهای صحیحی از صفر تا نه هستند.
پس هر عدد صحیح z در این حالت با علامت اختصاری abcd نشان داده می شود.
در ضمن یادآوری می کنیم که ضرایب a, b, c, d باقیمانده های تقسیم متوالی z بر 10 هستند، مثلاً و باقیمانده های متوالی عبارتند از : 2، 7، 3.
عبارت خاصی که در بالا برای z عرضه شد فقط می تواند عددهای صحیح کوچکتر از ده هزار را نشان دهد زیرا عددهای صحیح بزرگتر به پنج رقم یا بیشتر نیاز دارند.
اگر z عدد صحیحی بین ده هزار و صدهزار باشد، می توان آن را به شکل : E + 10 × d + 102 × c + 103 × b + 104 × a = z نوشت و با نماد abcde نشان داد.
در مورد عددهای صحیح بین صدهزار و یک میلیون نیز عبارت مشابهی می توان نوشت.
در دست داشتن شیوه ای کلی برای نشان دادن این نتیجه به وسیله یک فرمول واحد، بسیار مفید است.
به این منظور، می توان ضریبهای متفاوت d, e، ...، را با یک حرف مانند a که با اندیس همراه باشد، نشان داد و برای رساندن این مطلب که توانهای ده می توانند به قدر لازم بزرگ باشند، بزرگترین توان را با n10 ، به جای 103 یا 104 در مثالهای بالا، نشان داد که در اینجا n نماینده یک عدد صحیح دلخواه است.
پس روش کلی نمایش یک عدد صحیح z در دستگاه اعشاری، به صورت (1) a0 + 10 × a1 + .......+ n-1 10 × an-1 + n10 × an = z یا به صورت اختصاری است.
در اینجا نیز همانند حالت خاص بالا می بینیم که رقمهای an,… , a2, a1, a0 همان باقیمانده های متوالی تقسیم پیاپی z بر 10 هستند.
در دستگاه اعشاری [دهدهی] ، عدد 10 به عنوان پایه انتخاب شده است.
افراد ناوارد ممکن است متوجه نباشند که انتخاب عدد ده ضروری نیست و هر عدد صحیح بزرگتر از یک را می توان به این منظور به کار برد.
مثلاً می توان دستگاه هفت هفتی ( دستگاه در پایه هفت یا هفتگانی ) را به کار گرفت .
در چنین دستگاهی، هر عدد صحیح می توان به این شکل نوشت : (2) b0 + 7 × b1 + ....
+ n-17 × bn-1 + n7 × bn که b ها رقمهای صفر تا شش هستند، و این عدد را می شود با نماد Bnbn-1 ….b1n0 نشان داد.
بنابراین « صد و نه » در دستگاه هفت هفتی با نماد 214 نمایش داده می شود که معنی آن 4 + 7 × 1 + 72 × 2 است.
خواننده برای تمرین می تواند ثابت کند قاعده کلی گذرا از پایه ده به هر پایه دیگر مانند B، انجام تقسیمهای متوالی عدد z بر B است؛ باقیمانده ها رقمهای این عدد در دستگاه با پایه B اند.
مثلاً 214(دستگاه هفت هفتی) = 109 (دستگاه اعشاری) طبیعی است این پرسش را مطرح می کنیم که آیا پایه خاصی هست که مطلوبترین پایه باشد یا نه.
خواهیم دید که پایه بسیار کوچک، معایبی دارد و استفاده از پایه بزرگ نیز نیازمند حفظ کردن نمادهای رقمی بسیار و جدول ضرب مفصلتری است.
انتخاب عدد دوازده به عنوان پایه، طرفدارانی داشته است زیرا این عدد بر دو، سه، چهار، و شش، بخش پذیر است و در نتیجه محاسبات مربوط به تقسیم و کسرها در این پایه