دانلود تحقیق اقلیدس - هندسه ی اقلیدسی -هندسه ی نا اقلیدسی

اقلیدس ریاضیدان یونانی،پسر نوقطرس بن برنیقس،ریاضیدان و منجم بزرگ تاریخ علم،به سال 323 ق.م متولد شد،وی از تبار فنیقی و نخستین رئیس بخش ریاضیات بود، در زبان یونانی اقلی به معنی کلید و دس به معنای هندسه و اقلیدس به معنای کلید هندسه است،در آن زمان مرگ اسکندر فرا رسید و سردارانش برای کسب قدرت با یکدیگر جنگیدند.

بطلمیوس یکی از سرداران اسکندر بود که مصر را گرفت و در آن جا تشکیل حکومت داد.

وی از علم و دانش حمایت می کرد و دانشمندان و دوستداران علم و دانش را دعوت می کرد تا در اسکندریه اقامت کنند.

اقلیدس بیش از 30 سال نداشت که به خواهش و درخواست بطلمیوس برای تدریس به اسکندریه رفت و در این شهر مکتب فلسفی خود را پایه گذاری کرد.

اقلیدس مردی محبوب، آرام، فروتن و نیکوکار بود و در حضور مستبدان و سرداران زورگو در نهایت صراحت صحبت می کرد.

بطلمیوس فرمانروای مصر هنگامی که خواست هندسه را بیاموزد آن را دشوار دید و ترجیح داد که از راه ساده تری به فهم آن موفق شود، بنابر این از اقلیدس پرسید: آیا امکان دارد قضایا را به نحو ساده تری بیان کرد؟

اقلیدس به وی جواب داد: غیر ممکن است، در هندسه راه مخصوص شاهانه وجود ندارد!

وی به مادیات اهمیت چندانی نمی داد.زمانی که شاگردی از وی پرسید که از هندسه چه نفعی می بریم؟در پاسخ به وی رو به غلامی کرد و گفت که به شاگردش یک اوبولوس بدهد زیرا که وی می خواهد از آنچه که می خواند بهره ببرد.وی بسیار متواضع و مهربان بود.

در حدود 300 ق.م ،اقلیدس مدرسه ای را در اسکندریه بنا می کند که به مرکز مطالعات علمی یونان مبدل می گردد.

کتاب مقدمات اقلیدس یا کتاب هندسه که سه قرن قبل از میلاد به نگارش در آمده، به زبان های مختلف دنیا ترجمه شده است و از آن زمان که فن چاپ مرسوم شد تا به حال بیش از2000 بار چاپ گردیده است.

زمانیکه این کتاب منتشر شد، چنان نویسنده اش را مشهور کرد که تا20 قرن بعد هرگونه تغییر در آن به معنی توهین به مقدسات عالم محسوب می شد.

تامدتها مردم بر این تصور بودند که اصل موضوع های اقلیدس هیچ گاه قابل تغییر نیست و تغییر در آن صورت نمی گیرد، اما دانشمندان برجسته ای چون ریمان لباچفسکی، علم ریاضیات را توسعه دادند و هندسه هایی غیراقلیدسی ارائه کردند.اقلیدس نابغه برجسته ای بود که ذوق سرشاری در زمینه تدوین داشت و این مطلب را می توان با مطالعه کتاب (نور) به خوبی متوجه شد.

قرن‌ پنجم‌ شاهد اوج‌ قدرت‌ ادبی‌ یونان‌، قرن‌ چهارم شاهد شکوفایی‌ فلسفه‌ و قرن‌ سوم‌ شاهد تکامل‌ علوم‌ بود.

سلاطین‌ بیش‌ از دموکراسیها نسبت‌ به‌ تحقیقات‌ علمی‌ گذشت‌ و مساعدت‌ روا می‌داشتند.

اسکندر کاروانهایی‌ مرکب‌ از جدولهای‌ نجومی‌ بابلی‌ به‌ شهرهای‌ یونانی‌ سواحل‌ آسیا فرستاد که‌ به‌ زودی‌ به‌ زبان‌ یونانی‌ ترجمه‌ شدند.

بطالسه‌ موزه‌ی‌ مطالعات عالی‌ را بر پا داشتند و علوم‌ و ادبیات‌ فرهنگهای‌ مدیترانه‌ای‌ را در کتابخانه‌ی‌ کتابخانه‌ی بزرگ‌ خود متمرکز کردند.

بطالسه‌ موزه‌ی‌ مطالعات عالی‌ را بر پا داشتند.

آپولونیوس‌ مقاطع‌ مخروطی‌ خود را به‌ آتالوس‌ اول‌ هدیه کرد،‌و ارشمیدس‌ تحت‌ حمایت‌ هیرون‌ دوم‌ به‌ تعیین‌ نسبت‌ محیط‌ دایره‌ به‌ قطر آن‌ و محاسبه‌ی‌ تعداد ماسه‌هایی‌ که‌ برای‌ پر کردن‌ جهان‌ لازم‌ است‌ پرداخت.

با وجود تمامی اینها،موفقترین علم نزد آن زمان هندسه بود.اقلیدس متعلق به این دوره می باشد.حدود 2000 سال است که اقلیدس با علم هندسه یاد می کنیم.ارشمیدس از دانشمندان باستان نیز دورانی را در نزد شاگردان اقلیدس به تحصیل علم پرداخت و به ریاضیات اشتیاق فراوانی یافت.

آثار اقلیدس: اقلیدس مجموعه ای از 13 کتاب را به نام اصول تالیف می کند(کتابهای‌ اول‌ و دوم‌ خلاصه‌ای‌ از کارهای‌ فیثاغورس‌ در هندسه‌ به‌ دست‌ می‌دهند، کتاب‌ سوم‌ کارهای‌ بقراط‌ خیوسی،کتاب‌ پنجم‌ کارهای‌ ائودوکسوس، کتابهای‌ چهارم، ششم‌ و یازدهم‌ و دوازدهم‌ کارهای‌ فبثاغورسیان‌ متأخر و دانشمندان‌ هندسه‌ی یونانی،‌ کتابهای‌ هفتم‌ تا دهم‌ از ریاضیات‌ عالی‌ بحث‌ می‌کنند.)،این کتابها همچنین زیر بنای ریاضیات جدید را پی می نهند.

که مهمترین کتاب او می باشد و به عربی ترجمه شده و در سراسر اروپا و خاور میانه گسترش یافت .

کتاب اصول وی در زمینه هندسی یونانی ، جبر و نظریه اعداد نوشته شده است .

که شامل 13 مقاله و 465 قضیه می باشد و در زمینه دایره ، خط راست ، هندسه فضایی صفحه و کره ، اشکال منتظم ، اعداد گنگ ، استفاده از خط کش و پرگار در ترسیمات و .....

می باشد که البته اقلیدس مطالب و نظریه های جدید عنوان نکرده بلکه همان نظریه های دانشمندان پیشین خود را به صورت قضایا و برهانهای منطقی عنوان نموده است.

در این کتابها بدون هیچ مقدمه ی خاصی به تعریف ساده ی قضیه،سپس به فرضیه های لازم،و بالاخره به‌ بدیهیات‌ یا علوم‌ متعارف‌ می‌پرازد.

به‌ پیروی‌ از دستورات‌ افلاطون‌، خود را مقید به‌ ارقام‌ و شواهدی‌ می‌نمود که‌ جز خط‌کش‌ و پرگار ابزاری‌ نخواهد.

اصول مجموعه کتابی است که تنها کتابی‌ که‌ از لحاظ‌ دوام‌ تاریخی‌ با آن‌ برابر است‌ «انجیل‌» است‌.

بسیاری از ریاضیدانان برجسته نخستین گرایش خود را به ریاضیات مدیون کتاب اصول اقلیدس هستند یکی از روشهایی که اقلیدس در این کتاب به کار برده است برهان خلف می باشد برای مثال اگر الف دروغ باشد پس ب راست است .

ب دروغ است پس الف راست است .

تاریخچه در حدود ۳۰۰ سال قبل از میلاد دنیای هندسه در تب و تاب بود.

نظرات مختلفی در زمینه هندسه وجود داشت و سرانجام اقلیدس با انتشار کتاب اصول بنیادی را بنا نهاد که تا قرن‌ها منسجم‌ترین بنیادهای نظری بشر محسوب می‌شود.

روش اقلیدس ساده بود او چند اصل موضوع و چند اصل متعارف را بدون اثبات به عنوان اصول بدیهی پذیرفت و سپس بر اساس آن صدها قضیه دیگر را اثبات کرد که بیشتر آن‌ها بسیار دور از ذهن بودند.

در حدود ۳۰۰ سال قبل از میلاد دنیای هندسه در تب و تاب بود.

اقلیدس شاگرد مکتب افلاطون بود.

او در اصول سیزده جلدی خود تمام دانش بشری تا آن زمان گرد آورد و به مدت دو هزار سال مرجعی بی‌بدیل باقی ماند.

روش بنداشتی (اصل موضوع) اقلیدس منجر به کاربرد الگویی شد که امروزه به آن ریاضیات محض می‌گوییم.

محض از این نظر که با اندیشه محض سر و کار دارد و از راه آزمون خطا و تجربه به دست نمی‌آید و درستی یا نادرستی احکام آن را نیز از راه تجربه نمی‌توان اثبات یا نفی کرد.

برای استفاده از روش بنداشتی یا اصل موضوع دو شرط را باید پذیرفت: شرط اول: پذیرفتن احکامی به نام بنداشت یا اصل موضوع که به هیچ توجیه دیگری نیاز نداشته باشند.

شرط دوم: توافق بر این‌که کی و چگونه حکمی "به طور منطقی" از حکم دیگر نتیجه می‌شود، یعنی توافق در برخی قواعد استدلال.

کار عظیم اقلیدس این بود که چند اصل ساده، چند حکم که بی‌نیاز به توجیهی پذیرفتنی بودند دست‌چین کرد، و از آن‌ها 465 گزاره نتیجه گرفت.

زیبایی کار اقلیدس در این است که این همه را از آن اندک نتیجه گرفت.

اصول موضوعه تمامِ هندسه اقلیدسی (تمامِ قضیه‌هایی که در دبیرستان می‌خوانیم، قضیه فیثاغورس و غیره) می‌توانند از پنج اصلِ موضوعه زیر استخراج شوند: از هر دو نقطه یک خطِ راست می‌گذرد.

هر پاره‌خط را می‌توان تا بینهایت رویِ خطِ راست امتداد داد.

با یک نقطه به عنوانِ مرکز و یک پاره‌خط به عنوانِ شعاع می‌توان یک دایره رسم نمود.

همه زوایایِ قائمه با هم برابر اند.

اگر یک خط دو خطِ دیگر را قطع کند، آن دو خط در طرفی که جمعِ زوایایِ داخلیِ تولید شده توسطِ خطِ مورب کم‌تر از دو قائمه است به هم می‌رسند (اگر ادامه داده شوند).[۱] برایِ بیانِ این اصولِ موضوعه به مفاهیمی مانندِ نقطه و خط نیاز داریم.

همان‌طور که باید چند گزاره را بدونِ اثبات بپذیریم تا بقیه گزاره‌ها استخراج شوند لازم است چند مفهوم را نیز بدونِ تعریف بپذیریم.

به این مفاهیم «تعریف‌نشده‌ها» می‌گویند.

همان‌طور که دیده می‌شود اصولِ هندسه اقلیدسی به جز اصلِ پنجم بسیار ساده و بدیهی به نظر می‌آیند.

به همین‌دلیل از زمانِ اقلیدس ریاضیدانانِ بیشماری در شرق و غرب (من‌جمله خیام ریاضیدانِ ایرانی) تلاش کرده‌اند اصلِ آزاردهنده پنجم را به اثبات برسانند.

این کار همواره شکست خورده است.

سپس برخی ریاضیدانان تلاش نمودند خلافِ اصلِ پنجم را فرض کنند تا ببینند آیا هندسه‌ای متناقض پدید می‌آید یا نه.

از آن‌جا که هیچ تناقضی در هندسه‌هایِ دارایِ اصلِ پنجمِ متفاوت دیده نشد به آن‌ها نامِ هندسه نااقلیدسی را دادند.

در نتیجه این مسأله مطرح گردید که تجربه کدام هندسه را تأیید می‌کند.

نظریه نسبیت عام به این پرسش پاسخ می‌دهد.

اثر مفقود اقلیدس‌، ((مقاطع‌ مخروطی‌))، خلاصه‌ی‌ مطالعات‌ منایخموس‌، آریستایوس‌ و دیگران‌ در رشته‌ی‌ مخروطات‌ است‌.

هندسه ی اقلیدسی: اقلیدس واضع علم هندسه به شمار می رود.

قبل از وی یونانیان و مصریان و بابلیان و اقوام دیگر- از راه تجربه – اطلاعاتی در باب اشکال هندسی و حقایق مربوط به آنها داشتند.

ولی این اطلاعات هندسی به صورت مجموعه ای از احکام متفرق بود که هر یک مستقلاً و جدا از سایرین، مورد نظر قرار می گرفت.

بدیهی است که این گونه اطلاعات پراکنده و متفرق را نمی توان علم نامید.

اقلیدس، با کشف روابط منطقی این احکام و استنتاج بعضی از آنها را از بعضی دیگر اطلاعات پراکنده و جداگانه ی مذکور را تنطیم و تکمیل کرد.

از همین جا است که او را پدر و واضع علم هندسه می دانند.

«اقلیدس علم هندسه را بر روش قیاسی بنا نهاد.

هندسه ی اقلیدسی با چند تعریف و اصل موضوع شروع می شود و سپس استخراج قضایا می آید.

تعاریفی که اقلیدس می آورد از این قبیل است: نقطه آن است که جزء ندارد.

«خط طول بلاعرض است.» «ولی اقلیدس تمام حدود وارد در علم هندسه را تعریف می کند.

مثلاً کلماتی را که در دو تعریف مذکور به کار رفته، از قبیل جزء و طول و عرض تعریف نکرده است.

اینها از حدود اولیه ی دستگاه اقلیدس است.

در تعریفات بعدی از حدودی که قبلاً تعریف شده کمک گرفته می شود.

مثلاً وی خط مستقیم را چنین تعریف می کند: «خط مستقیم خطی است که بین دو انتهای خود هموار باشد.».

«اقلیدس در تأسیس علم هندسه احکامی چند را بدون دلیل می پذیرد.

وی این احکام را به دو دسته تقسیم می کند که عبارتند از اصل موضوع ها و علوم متعارفی، ولی دلیلی برای این تقسیم اقامه نمی نماید.

شاید وی بعضی از احکام مذکور را کلی تر یا واضح تر از بعضی دیگر می پنداشته است.

در هر حال هندسه ی اقلیدسی نه فقط مدعی بوده که تمام قضایای آن نتیجه ی منطقی اصل موضوع ها و علوم متعارفی است و مانند آنها راست است، بلکه مدعی بداهت اصل موضوع ها و علوم متعارفی نیز بوده است.

این تقسیم بندی در علوم قیاسی امروز منسوخ است.

تئوری های قیاسی مدعی آن نیستند که اصل موضوع های آنها فی لبداهه راست است، بلکه هر حکمی از یک تئوری قیاسی که بدون اثبات در آن تئوری پذیرفته شود، اصلی موضوعی از آن تئوری محسوب می شود.

بر اساس هندسه اقلیدس که آن را هندسه مسطحه ودو بعدى مى‏خوانند جهان، نامحدود و بى‏مرز است، این دیدگاه از اصل پنجم برخاسته است که بر اساس آن: دو خط موازى ومستقیم اگر تا بى‏نهایت هم امتداد یابند هیچ‏گاه همدیگر را قطع نمى‏کنند و فاصله‏شان همواره ثابت است.

اصل پنجم اقلیدس این است: «اگر خطى بر دو خط راست فرو افتد با آنها دو زاویه بسازد، چنان که مجموعشان از دو قائمه کمتر باشد، وقتى که آن دو خط به طور نامتناهى امتداد داده شوند، در طرفى که زاویه‏هاى کوچکتر از دو قائمه قرار دارند به یکدیگر مى‏رسند».

بسیارى از دانشمندان کوشیدند اصل پنجم اقلیدس را چون چهار اصل دیگر اثبات کنند و موفق نشدند، از جمله مردانى که در اثبات این اصل تلاش کردند: ابوالحسن ثابت‏بن قره حرانى (221 تا 288ه.ق) پزشک، ریاضى‏دان، اختر شناس و مترجم نامدار بود، وى با روشى که پس از او ابوعلى حسن، مکنى به ابن هیثم،معروف به بصرى (354تا 420ه.ق) پزشک، فیزیکدان، ریاضى‏دان و بزرگترین محقق در شاخه‏ى نورشناسى فیزیک به کار گرفت و همچنین:حکیم ابوالفتح عمر خیام نیشابورى (439 تا 526ه.ق) حکیم، فیلسوف، شاعر، اخترشناس و ریاضى‏دان(همه در اصل پنجم اقلیدس تردید داشتند)، هر کدام خواستند به نحوى آن را اثبات کنند ولى توفیق به دست نیاوردند.

خواجه نصیرالدین حکیم والا مقام خطه‏ى طوس(597 تا 672ه.ق) منجم، ریاضى‏دان، سیاستمدار و نویسنده زبردست نیز در اثبات اصل پنجم به نتیجه‏اى نرسید، وى شرحى به عربى بر اقلیدس و رساله‏اى درباره‏ى اصل‏هاى اقلیدسى نوشت و در بررسى اصل پنجم و براى اثبات آن به اهمیت قضیه‏ى «مجموع زاویه‏هاى مثلث‏برابر دو قائمه است‏» توجه کرده و خواست از این روى کرد نتیجه بگیرد.

جان والیس(1616 تا 1703م) به کار خواجه نصیرالدین و شیوه‏ى استدلال او دلبستگى پیدا کرده و در سال 1651م استدلال او را در کلاس درس دانشگاه