فصل اول: 1) اصولی از خط راست: الف) یک خط شامل مجموعه ای از نقاط است که می توان گفت هر خط شامل حداقل دو نقطه متمایز است.
ب) دو خط راست متمایز حداکثر یکدیگر را در یک نقطه قطع می کنند.
ج) هر دو نقطه متمایز حداقل بر یک خط قرار دارند.
د) بین هر دو نقطه متمایز از یک خط راست می توان نقطه ای متمایز از آن دو بدست آورد.
2) اصولی از صفحه: الف) صفحه مجموعه ای است از نقاط و هر صفحه حداقل شامل 3 نقطه است که بر یک استقامت نمی باشند.
ب) بر هر سه نقطه غیرواقع بر یک خط راست یک صفحه می گذرد.
ج) اگر هر دو نقطه از خطی، در یک صفحه باشند تمام نقاط این خط نیز در این صفحه است.
3) فضا: مجموعه ای نامتناهی شامل کلیه نقاط است.
4) تعریف: تعریف یعنی شناساندن یک چیز یا یک شیء بوسیله مشخصات لازم برای شناساندن.
تعریف باید جامع و مانع باشد.
5) تعریف نشده ها: آنچه را که با درک و تصورکردن و یا از طریق مشاهده شناخته و بدون تعریف می پذیریم.
6) برهان: رسیدن از یک سلسله گزاره های درست قبلی به گزاره هایی که درستی آن را بر مبنای آنچه قبلاً پذیرفته ایم قبول می کنیم.
7) قضیه: هر گزاره ای که درستی آن نیازمند برهان است.
8) اصل: هر گزاره ای که درستی آن نیاز به برهان ندارد.
9) شکل: هر مجموعه ای از نقاط را یک شکل نامند.
10) نیم خط:مجموعه ای از نقاط یک خط را که از یک طرف محدود و از یک طرف نامحدود باشد.
با n نقطه متمایز در یک راستا n2 نیم خط داریم 11) پاره خط: جزئی از یک خط راست که از دو طرف محدود باشد.
مانند پاره خطAB با n نقطه متمایز تا پاره خط داریم.
هویت صفحه با سه نقطه متمایز که در یک استقامت واقع نمی باشند مشخص می شود.
هویت فضا با چهار نقطه متمایز که سه تا در یک صفحه و آن دیگری در صفحه واقع نیست مشخص می شوند.
استدلال استقرائی: این نوع استدلال براساس تجربه و مشاهده قرار دارد و مختص تشخیص های پزشکی و علوم تجربی است.
از این استدلال به عنوان یک حدس در حل مسائل ریاضی بهره می گیریم.
اصل استقرائی ریاضی استدلال استقرائی استدلال استنتاجی: براساس قضیه های قبلی و در ابتدا برمبنای اصول موضوعه و بدیهی استوار است مختص علوم ریاضی است و قطعیت دارد.
14) اوضاع نسبی دو زاویه متمم اند مجانب اند.
مکمل اند مجاورند مکمل متقابل به رأسند متمم 15) نیم ساز های دو زاویه مجانب برهم عمودند.
16) نیم ساز های دو زاویه متقابل به رأس بر یک خط راست واقعند.
17) هر نقطه روی نیم ساز از دو ضلع زاویه به یک فاصله است و برعکس.
18) مکان هندسی نقاطی از صفحه که از دو خط متقاطع به یک فاصله است دو خط متقاطع( عمود برهم) یعنی نیم ساز های زوایای بین دو خط است که بر هم عمودند.
19) دو خط که با هم موازیند در نظر می گیریم و خطی که هر دو خط را قطع می کند رسم می کنیم.
20) تعریف مثلث: از تقاطع سه خط 2 به 2 متقاطع پدید می آید.
6 جزء اصلی دارد سه زاویه و سه ضلع.
:محیط نصف محیط 21) مساحت مثلث: ( ارتفاع وارد بر ضلع aاست) تست 1: مجموع سه ضلع مثلثی 10 است اگر مساحت آن 20 باشد مجموع معکوسات سه ارتفاع را بیابید.
الف) 5/0 ب) 25/0 ج) 1/0 د) 22) مساحت مثلث: فرمول هرون: هرگاه فقط سه ضلع داشته باشیم.
تست 2: در مثلثی اگر اضلاع c,b,a و نصف محیط p باشد.
در این صورت مساحت آنرا بیابید.
الف) ب) ج) د) تست3: در مثلثی به اضلاع 5و6و7 مطلوبست ارتفاع وارد بر ضلع به طول 6 سانتیمتر( سراسری تجربی 72) الف) 5/4 ب) ج) د) 23) با تبدیلات دوره ای: هرگاه ققط دو ضلع و زاویه بین داشته باشیم.
تست4: مساحت مثلث زیر را بیابید.( سراسری تجربی 70) الف) ب) ج)32 د) 24 24) قضیه سینوسها در هر مثلث داریم: قضیه کسیونسها در هر مثلث داریم: هرگاه دو ضلع و زاویه بین داشته باشیم و بخواهیم ضلع سوم را بیابیم.
تست1: با تبدیلات دوره ای در مثلث ABC داریم: و زاویه می باشد.
بزرگترین زاویه چند درجه است.
الف) 100 ب) 90 ج) 80 د) 75 تست2: در مثلث ABC داریم: می باشد زاویه c را بیابید.
الف) 30 ب) 45 ج) 60 د) 90 25) اصل نامساوی مثلثی( قضیه حمار) هرگاه با سه عدد a , b , c بخواهیم مثلث بسازیم.
26) طرز تشخیص نوع مثلث: تست1: اگر اضلاع مثلثی باشند که زاویه روبه رو به ضلع a بزرگتر از 90 درجه باشد a در کدام بازه است؟
الف) ب) ج) د) تست2: مثلثی با اضلاع 5و6و7 چه نوع است؟
الف) حاده الزاویه ب)منفرجه الزاویه ج) قائم الزاویه د) نامشخص 27) جمع زوایای داخلی هر مثلث 180 درجه می باشد و جمع زوایای خارجی آن 360 درجه است.
28) زوایای مثلثی تشکیل تصاعد حسابی اگر داده باشند یکی از زوایای آن حتماً 60 درجه است چون: شرط تصاعد حسابی با سه زاویه A,B,C مثلاً اگر مثلث قائم الزاویه ای بخواهد زوایایش تشکیل تصاعد حسابی بدهد زوایا عبارتند از: 30و60و90 29) اگر زوایای مثلثی با اعداد p ,n ,m متناسب باشند که در این صورت نوع مثلث قائم الزاویه است.
تست1: زوایای مثلثی با اعداد10،7،3 متناسب است نوع مثلث چیست؟
الف) نامشخص ب) قائم الزاویه ج) متساوی الساقین د) متساوی الاضلاع تست2: زوایای مثلثی با اعدادد 3و3و6 متناسب است نام مثلث چیست؟
الف) قائم الزاویه ب) متساوی الساقین ج) قائم الزاویه- متساوی الساقین د) منفرجه الزاویه 30) اگر o نقطه ای دلخواه درون مثلثی باشند در این صورت: تست1: اضلاع مثلث ABC برابر است با 9،8،7 از نقطه دلخواه o درون مثلث به سه رأس وصل می کنیم اگر یک عدد درست باشد کدام می تواند باشد.
الف) 7 ب) 20 ج) 25 د) 10 31) در هر مثلث هر زاویه خارجی برابر است با جمع دو زاویه داخلی غیرمجاور تست1: در شکل مقابل می باشد را بیابید.
الف) ب) ج) د) 32) در هر مثلث زاویه مقابل به ضلع بزرگتر.
بزرگتر است از زاویه مقابل به ضلع کوچکتر و برعکس.
33) هرگاه دو ضلع از مثلثی با دو ضلع از مثلث دیگر برابر باشند اما زاویه های بین این دو ضلع برابر نباشد مثلثی که زاویه اش بزرگتر است ضلع سوم آن نیز بزرگتر است و برعکس.
تست1: اگر BC بزرگترین ضلع مثلث ABC باشد.
برای زاویه A کدام حکم درست است؟
الف) ب) ج) د) الف) ب) ج) د) اضلاع مثلثی a ,b ,c است اگر داشته باشیم مطلوبست حدود زاویه a: الف) ب) ج) د) 34) در هر مثلث ABC که که آنگاه می باشد چون و پس از طرفی پس است.
35) حالات تساوی 2 مثلث: الف) ض ض ض ب) ض ز ض ج) ز ض ز د) دو ضلع و زاویه مقابل به ضلع بزرگتر از یکی با همین اجزاء از دیگری برابر باشد.
36) هر مثاث با معلوم بودن هر یک از حالات زیر نیز فقط یکی داریم تذکر:در هر یک از حالات فوق فقط یک مثلث می توان داشت.
الف) سه میانه ب) ارتفاع و میانه و اندازه ضلع نظیر آن ارتفاع ج) دو میانه و یک ضلع با معلومات چند مثلث قابل رسم است؟
الف) صفر ب) 1 ج) 2 د) بی شمار با معلومات چند مثلث می توان داشت؟
الف) صفر ب) 1 ج) 2 د) بی شمار و و چند مثلث قابل رسم است؟
الف) صفر ب) 1 ج) 2 د) بی شمار 38- میانه در مثلث: میانه پاره خطی است که از یک رأس به وسط ضلع مقابل محدود باشد هر مثلث سه میانه دارد که در مرکز ثقل هم رأسند.
الف) یک میانه مثلث را به 2 تا مثلث هم ارز( هم سطح یعنی معادل) تقسیم می کند.
ب) سه میانه مثلث را به 6 تا مثلث هم ارز تقسیم می کند.
ج) با تبدیلات دوره ای 9و5وaاضلاع مثلثی هستند، میانه ی وارد بر ضلع a در چه بازه ای است؟
الف) ب) ج) د) هیچکدام د) ه) و) ی) ر) اگر وسط ضلع مثلثی به وسط ضلع دیگر وصل کنیم پاره خط حاصل موازی و برابر ضلع سوم است و برعکس: ز) اگر وسط اضلاع مثلثی را به هم اتصال دهیم مثلث حاصل را مثلث میانه ای گویند.
مساحت این مثلث برابر مساحت مثلث اصلی است و محیط آن محیط اصلی است و محیط آن محیط مثلث اصلی است.
بعبارت دیگر هرگاه از سه رأس یک مثلثی به موازات اضلاع رسم کنیم مثلث حاصله مساحتش 4 برابر مثلث اولیه است و میحطش دو برابر است.
ژ) با داشتن اوساط اضلاع یک مثلث می توان آنرا رسم کرد.
ل) اگر مثلثی داشته باشیم: اگر در یک مثلث ABC داشته باشیم باشد نام مثلث چیست؟
الف) قائم الزاویه ب) حاده الزاویه ج) منفرجه الزاویه د) نامشخص در شکل مقابل دو میانه است مساحت مثلث ABC چند برابر مساحت مثلث OMN است.( سراسری ریاضی 69) الف) 8 ب) 9 ج) 12 د) 18 در شکل مقابل ABCD مربع، به ترتیب وسط اضلاع است، مساحت چهاروجهی چند برابر مساحت مربع ABCD است.
الف) ب) ج) د) در شکل مقابل میانه های مثلث می باشند مساحت AGMN چند برابر مساحت مثلث ABC است؟
الف) ب) ج) د) اضلاع مثلثی 9،8،7 می باشد یک عدد درست است کدام گزینه می تواند باشد.
الف) 20 ب) 15 ج) 25 د) 10 اضلاع مثلثی 9،8،7 می باشد.
الف) یک میانه را رسم می کنیم مساحت هر قسمت را بیابید.
ب) سه میانه را رسم می کنیم مساحت هر قسمت را بیابید.
ج) اوساط اضلاع را به هم وصل می کنیم محیط و مساحت مثلث پدید آمده را بیابید.
اضلاع یک مثلث را در یک جهت به اندازه خود ادامه می دهیم مساحت مثلث حاصله چند برابر مساحت مثلث اولیه است؟
الف) 7 ب) 5 ج) 4 د) 3 39)مثلث سرپینسکی: اگر در مرحله صفر مساحت مثلث اولیه برابر یک باشد در مرحله n تعداد مثلث های سفید مساحت مثلث های سفید می باشد.
حد مجموع مساحت مثلث های سفید تعداد مثلث ها مساحت باقیمانده ها 40) ارتفاع در مثلث: پاره خطی است که از رأس بر ضلع مقابل عمود شده و به آن یا امتداد آن محدود باشد هر مثلث 3 ارتفاع دارد.
الف) اگر در یک مثلث هر سه زاویه حاده یا یک زاویه قائم یا یک زاویه منفرجه داشته باشیم محل تلاقی سه ارتفاع درون، روی رأس یا خارج مثلث می باشد.
ب) در هر مثلث هر ارتفاع با ضلع نظیرش رابطه عکس دارد.
لذا هر رابطه ای که بین اضلاع برقرار است بین معکوس ارتفاعها نیز برقرار است و برعکس.
:مثال :قضیه فیثاغورث :قضیه حصار ج) اگر با سه ارتفاع مثلثی یک مثلث بسازیم ارتفاعهای این مثلث با اضلاع مثلث اصلی متناسب می باشند.
د) در هر مثلث متساوی الاضلاع سه ارتفاع برابرند و برابر است با اگر طول هر ضلع a باشد مساحت مثلث متساوی الاضلاع برابر است با ه) در هر مثلث متساوی الساقین ارتفاعات وارد بر 2 ساق برابرند و برعکس.
و)اگر از نقطه o داخل مثلث متساوی الاضلاع به ضلعها عمود کنیم مجموع آنها برابر است با: ز) هر گاه به قطر هر ضلع مثلثی یک دایره رسم کنیم این دایره از پای ارتفاع های وارد بر 2 ضلع دیگر می گذرد.
ر) هرگاه پای سه ارتفاع مثلثی را به هم اتصال دهیم مثلثی بنام مثلث ارتفاعیه بدست می آید که با مثلث اصلی متشابه است.
س) مجموع فواصل هر نقطه روی قاعده مثلث متساوی الاساقین از 2 ساق برابر است با ارتفاع وارد بر ساق.
ش) تفاضل فواصل هر نقطه روی امتداد قاعده مثلث متساوی الاساقین از 2 ساق برابر است با ارتفاع وارد بر ساق.
ن) در هر مثلث سه ارتفاع در یک نقطه هم رأسند قرینه این نقطه نسبت به هر ضلع مثلث روی دایره محیطی قرار گرفته است.
در مثلث ABC داریم: نوع مثلث چیست؟
الف) قائم الزاویه ب) منفرجه الزاویه ج) متساوی الاضلاع د) متساوی الاساقین در یک مثلث متساوی الاضلاع از نقطه ای به دلخواه درون آن بنام o به سه ضلع عمود کرده ایم مجموع این عمودها برابر است با ، مساحت این مثلث را بیابید.
الف) 1 ب) 2 ج) د) 41) نیمساز در مثلث: نیمساز زاویه را نصف می کند سه نیم ساز داخلی در نقطه ای بنام مرکز دایره محاطی داخلی به هم می رسند.
این نقطه از سه ضلع مثلث به یک فاصله است.
مساحت مثلث نصف محیط مثلث چند نقطه داریم که از اضلاع مثلث ABC به یک فاصله است( در صفحه و در فضا) الف) 1 و بی شمار ب) 4 و بی شمار ج) 1 و 4 د) 4 و 1 41- الف) هر دو نیمساز خارجی و یک نیمساز داخلی در یک نقطه به هم می رسند به نام