دانلود تحقیق کران بالا و کران پایین در مجموعه

تعریف: کراندار از بالا است، هرگاه وجود داشته باشد بطوریکه برای هر داشته باشیم ، از بالا کراندار است.

تعریف: کراندار از پایین است هرگاه وجود داشته باشد بطوریکه برای هر داشته باشیم ، از پایین کراندار است.

مثال: آیا توان بالا و پایین دارد؟

نکته: اگر یک مجموعه دارای یک کران پایین و یا یک کران بالا باشد دارای بی نهایت کران بالا و پایین است.

(در اعداد حقیقی) مثال: برای مجموعه های زیر یک کران بالا و یک کران پایین تعیین کنید.

فرمول تذکر: یک مجموعه کراندار است هرگاه هم از بالا و هم از پایین کراندار باشد.

مثال: کدام یک از مجموعه های زیر کراندار می باشند.

(الف (ب عضو ابتدا و انتها (Min و Max) تعریف: مجموعه دارای عضو ابتدایی مانند a است هرگاه وجود داشته باشد بطوریکه برای هر داشته باشیم ، دارای عضو ابتدا است.

تعریف: مجموعه دارای عضو انتهایی مانند b است، هرگاه وجود داشته باشد، بطوریکه برای هر داشته باشیم دارای عضو انتها است.

مثال: عضو ابتدا و انتهای مجموعه های زیر را در صورت وجود بدست آورید.

مثال: عضو ابتدا و انتهای مجموعه های زیرا را در صورت وجود بیابید (ه Q (د R (ج (ب N (الف مثال: مجموعه A بصورت زیر تعریف شده است کدام عدد حتماً عضو A است.

1) 15 2) 40 3) 120 4) 118 مثال: کدام یک از مجموعه های زیر دارای عضو ابتدا یا عضو انتها می باشند، در صورت وجود آنها را مشخص کنید.

اعداد اول) P( اصل خوش ترتیبی: هر زیر مجموعه غیر تهی از اعداد طبیعی دارای عضو ابتدا است.

مجموعه مرتب (خوش ترتیب): A خوش ترتیب است هرگاه هر زیرمجموعه غیرتهی آن دارای عضو ابتدا باشد.

مثال: کدام یک از مجموعه های زیر خوش ترتیب هستند.

فرمول (ه (ی (ن اعداد اول بزرگتر از 2500 بخش پذیری تعریف: عدد صحیح a بر عدد صحیح b بخش پذیر است هرگاه در تقسیم عدد a بر b باقیمانده آن تقسیم برابر صفر شود.

(تذکر مهم) جملات معادل برای تعریف فوق 1-b عاد می کند a را 2-a مضربی از b است 3-b عدد a را می شمارد 4-b یک مقسوم علیه عدد a است.

مثال: از روابط زیر نتایج ممکن را بدست آورید n=abc ab=cdفرمول ویژگیهای مهم بخش پذیری: 1-مجموعه مقسوم علیه های عدد صفر همان Z است (صفر بر هر عدد صحیح بخش پذیر است).

2-اگر آنگاه داریم ، و و و اثبات:فرمول 3-اگر آنگاه روابط زیر موجود است.

(الففرمول عی n ثابت کنید.

(ج (ب (الف فرمول تذکر: چون پس مثال: ثابت کنید به ازای هر عدد صحیح a داریم فرمول مثال: ثابت کنید به ازای هر فرمول مثال: ثابت کنید به ازای هر عدد صحیح a داریم مثال: ثابت کنید به ازای هر 4-اگر آنگاه روابط زیر وجود دارد.

(الف (ب (ج 5-روابط مهم زیر در بخش پذیری وجود دارد.

(طرفین بخش پذیری در هم ضرب می شوند).

(الف (بخش پذیری رابطه تعدی است) (ب (ج (ترکیب خطی در بخش پذیری) (هـ مثال: اگر a دو عدد 5+n12 و 2+n4 را می شمارد.

مقدار a را بیابید.

مثال: کدام گزینه درست است؟

(1 (2 (3 (4 مثال: اگر و و ، d کدام می تواند باشد؟

6-با توجه به اتحادهای زیر سه رابطه مهم زیر ساخته شود.

(الف (ب فرد طبیعی (ج زوج مثال: تمام روابط ممکن بخش پذیری که عبارت بر آنها بخش پذیر است بدست آورید.

مثال: عدد بر چه عددی همواره بخش پذیر می تواند باشد.

مثال: عبارت همواره بر چه عبارتی بخش پذیر است.

نکته مهم: اگر باشد آنگاه روابط زیر را داریم.

(1 (2 (3 مثال: عدد اگر همواره بر کدام عدد بخش پذیر است.

مثال: چند عدد طبیعی کمتر از 1000 وجود دارد که عضو مجموعه زیر باشد.

(نکته بسیار مهم): تعداد اعداد طبیعی کوچکتر از n که بر k بخش پذیر است برابر است.

(نکته بسیار مهم): اگر حاصلضرب دو عدد طبیعی عددی اول باشد آنگاه عدد کوچکتر برابر 1 و عدد بزرگتر همان عدد p است.

مثال: اگر باشد حاصل x2 را بیابید.

مثال: تعداد اعداد سه رقمی مضرب 14 کدام است؟

مثال: ثابت کنید مربع هر عدد فرد بصورت 1+K8 است.

مثال: ثابت کنید حاصلضرب n عدد متوالی بر n!

بخش پذیر است.

مثال: دو عدد فرد a و b با فرض داده شده است.

در بین چهار جواب زیر بزرگترین عددی که را می شمارد بدست اورید.

1) 16 2) 4 3) 12 4) 8 مثال: عدد بر کدام عبارت همواره بخش پذیر است.

مثال: مربع رقم دهگان بعلاوه 16 برابر مربع رقم یکان یک عدد دورقمی مساوی هشت برابر حاصلضرب ارقامش است.

این عدد همواره بر کدام عدد قابل قسمت است.

(نکته مهم) عدد مربع کامل است، هرگاه در تجزیه به عاملهای اول توان عاملها زوج باشند.

مثال: مجموع ارقام کوچکترین عدد طبیعی که مضرب 11 بوده و مربع آن بر 315 بخش پذیر باشد کدام است؟

(نکته بسیار مهم) لم اقلیدس: اگر مثال: عدد بر چه عددی همواره بخش پذیر است.

مثال: عدد همواره بر کدام گزینه بخش پذیر است.

1) 32 2) 33 3) 128 4) 127 مثال: اگر a عددی زوج باشد، عدد بر کدام یک از اعداد زیر قابل قسمت است؟

1) 15 2) 36 3) 32 4) 48 مثال: اگر عددی اول باشد در اینصورت 1) a و b هر دو اولند 2) a یا b اول است 3) است 4) است مثال: کوچکترین عددی که در عدد ضرب شود تا عدد بصورت یک مربع کامل ظاهر شود کدام است؟

مثال: چند عدد طبیعی بخش پذیر بر 12 وجود دارد که خودش عدد 288 را عاد کند؟

مثال: مجموع هر دو عدد فرد متوالی بر کدام عدد همواره بخش پذیر است؟

الگوریتم تقسیم: اگر و در اینصورت اعداد صحیح r و q وجود دارند بطوریکه بطوریکه q و q منحصر بفرد است.

مثال: در تقسیم a بر b اگر 12 واحد به مقسوم، 4 واحد به مقسوم علیه اضافه کنیم ولی خارج قسمت و باقیمانده تغییری نکند، آنگاه خارج قسمت چقدر است؟

مثال: نشان دهید هر عدد صحیح بصورت k2 یا 1+k2 است بطوریکه است.

مثال: نشان دهید هر عدد صحیح بصورت k3 یا 1k3 است بطوریکه است.

مثال: نشان دهید هر عدد صحیح بصورت k4 یا 1k4 یا 2+k4 است بطوریکه است.

مثال: اگر a فرد باشد ثابت کنید مربع آن نیز فرد است و بالعکس.

تذکر: اگر عددی فرد را داشته باشیم برای تشخیص اینکه عدد مربع کامل است یا خیر باید آن عدد را بر 8 تقسیم کنیم.

اگر باقیمانده تقسیم غیر یک باشد مربع کامل نیست ولی نمی توان گفت اگر باقیمانده آن بر 8 برابر 1 باشد مربع کامل است.

مثال: آیا عدد 128925 مربع کامل است؟

مثال: عدد 17 را می توان بصورت 1+28=17 است ولی مربع کامل نیست.

مثال: باقی مانده تقسیم a و b بر 19 به ترتیب 3 و 17 است.

حاصل باقیمانده تقسیم a-b2 بر 19 کدام است؟

مثال: در یک تقسیم 52 واحد به مقسوم و 4 واحد به مقسوم علیه افزوده ایم.

خارج قسمت و باقی مانده تغییری نکرده است.

خارج قسمت کدام است.

مثال: (نکته) ثابت کنید حاصلضرب چهار عدد متوالی بعلاوه یک مربع کامل است.

مثال: فرض کنید عدد صحیح دلخواهی باشد و m و n اعداد صحیح دلخواهی باشند که ثابت کنید مثال: اگر n عددی فرد باشد ثابت کنید عدد بر 48 بخش پذیر است.

مثال: a مضرب 6، b مضرب 15 است.

باقیمانده تقسیم a بر b بر کدام یک از دو عدد زیر همواره قابل قسمت است؟

1) 2 2) 3 3) 5 4) 6 مثال: ثابت کنید مربع هر عدد صحیح بصورت k3 یا 1+k3 است.

مثال: در یک تقسیم باقیمانده 26 و خارج قسمت 4 است.

حداکثر چند واحد می توان به مقسوم علیه اضافه کرد تا خارج قسمت تغییر نکند؟

مثال: اگر باقیمانده عدد زوج N بر 23 برابر 17 باشد، باقیمانده بر 23 کدام است؟

مثال: اگر n عددی فرد باشد، عدد همواره بر چه عددی بخش پذیر است؟

مثال: ثابت کنید اگر n عددی فرد باشد آنگاه عدد مضرب 64 است.

مثال: در یک تقسیم باقیمانده 3 برابر مربع خارج قسمت است و مقسوم علیه 70 است حداکثر مقدار مقسوم کدام می تواند باشد؟

مثال: اگر باشد عدد همواره بر کدام عدد بخش پذیر است؟

مثال: در یک عمل تقسیم، مقسوم علیه برابر 51 و باقیمانده تقسیم 7 برابر مربع خارج قسمت می باشد.

مقسوم را بدست آورید.

مثال: اگر ضرایب معادله اعداد صحیح فردی باشد.

ثابت کنید معادله مزبور دارای ریشه گویا نیست.

مثال: باقیمانده تقسیم عدد صحیح a بر 8 و 7 به ترتیب برابر 5 و 3 است.

باقیمانده تقسیم a بر 56 بدست آورید.

(نکته مهم) برای بدست آوردن تعداد مقسوم علیه های مثبت یک عدد باید مراحل زیر را انجام دهیم.

الف) آن عدد را به صورت حاصلضرب عاملهای اول تجزیه کنیم.

ب) با استفاده از فرمول تعداد مقسوم علیه های مثبت بدست می اید.

مثال: تعداد کل مقسوم علیه های عدد 120 را بیابید.

مثال: تفاضل تعداد مقسوم علیه های دو عدد طبیعی و برابر 14 است.

کوچکترین مقدار N کدام است؟

مبنا: عدد طبیعی n در مبنای b را به صورت نمایش می دهند و بصورت زیر تعریف می شود.

تذکر: در مبنای b، اولاً باید b عددی طبیعی و بزرگتر از یک باشد.

ثانیاً برای عدد می باشد.

مثال: عدد 6(541) را در مبنای 10 بدست آورید.

تذکر: 1) برای تبدیل یک عدد در مبنای غیر ده به مبنای ده باید از عمل ضرب مانند مثال فوق استفاده کرد.

2) برای تبدیل یک عدد در مبنای ده به مبنای غیره ده از عمل تقسیم استفاده می کنند مانند مثال زیر مثال: حاصل عبارتهای زیر را بدست آویرد.

3( )=697 5( )=1292 مثال: فرض کنید اعداد دو رقمی و در مبنای 10 بر 7 بخش پذیر باشند.

ثابت کنید حاصل بر 42 بخش پذیر است.

مثال: فرض کنید حاصل x+y را بدست آورید.

مثال: یک عدد دورقمی 5 برابر مجموع ارقام خودش است.

حاصلضرب این ارقام کدام است؟

مثال: بزرگترین و کوچکترین عدد سه رقمی در مبنای 7 را بدست آورید.

مثال: در رابطه مقدار x+y را بدست آورید.

مثال: در مبنای به کدام صورت خواهد بود.

(12) مثال: در مبنای x داریم مقدار x را بیابید.

بخش پذیری بر اعداد 1-عددی بر 2 بخش پذیر است که رقم یکان آن زوج باشد.

2-عددی بر 3 بخش پذیر است که مجموع ارقام آن بر 3 بخش پذیر باشد.

3-عددی بر 5 بخش پذیر است که رقم یکان آن صفر یا 5 باشد.

4-عددی بر 6 بخش پذیر است که هم بر 2 و هم بر 3 بخش پذیر باشد.

5-عددی بر 9 بخش پذیر است که مجموع ارقام آن بر 9 بخش پذیر باشد.

6-عددی بر 4 بخش پذیر است که دو رقم سمت راست آن بر 4 بخش پذیر باشد.

7-عددی بر 8 بخش پذیر است که سه رقم سمت راست آن بر 8 بخش پذیر باشد.

8-عددی بر 11 بخش پذیر است هرگاه از راست به چپ یک در میان با علامت مثبت و منفی کنار هم قرار دهیم حاصل صفر شود.

(مضربی از 11 شود) 9-عددی بر 7 بخش پذیر است هرگاه از راست به چپ، سه رقم، سه رقم جدا کنیم و با علامت مثبت و منفی درنظر بگیریم اگر عدد حاصل صفر یا مضرب 7 شود باقیمانده صفر است.

10-عددی بر 13 بخش پذیر است هرگاه از راست به چپ سه رقم، سه رقم، جدا کنیم و با علامت مثبت و منفی درنظر بگیریم اگر عدد حاصل صفر یا مصرب 13 شود.

باقیمانده صفر است.

مثال: عدد باقیمانده اش بر 9 برابر 5 است حاصل x+y کدام می تواند باشد.

1) 1 2) 3 3) 11 4) 12 مثال: فرمولی برای محاسبه باقیمانده تقسیم عدد بر اعداد 4 و 8 بدست آورید.

مثال: به ازاء کدام مقدار a عدد بر 4 بخش پذیر است.

مثال: باقیمانده تقسیم عدد شش رقمی بر 9 برابر 11 است مقدار a+b بدست آورید.

مثال: به ازای چه مقداری از a عدد بر 7 بخش پذیر است.

مثال: به ازای کدام مقدار b عدد پنج رقمی بر 7 بخش پذیر است؟

1) 6 2) 5 3) 6 4) 8 مثال: اگر باقیمانده تقسیم عدد بر 7 برابر 6 است در اینصورت باقیمانده تقسیم عدد بر7 برابر کدام است؟

(نکته مهم): اگر عدد بطوریکه آنگاه عددی مانند n بر m بخش پذیر است هرگاه n هم بر a و هم بر b بخش پذیر باشد.

مثال: b و a را چنان بیابید که عدد بر 72 بخش پذیر باشد.

مثال: باقیمانده تقسیم عدد شش رقمی بر 99 برابر 11 است.

حاصل کدام گزینه می تواند باشد.

1) 4 2) 14 3) 2 4) 16 مثال: اگر عدد مربع کامل باشد، چند عدد بصورت وجود دارد؟

مثال: بزرگترین عددی که اگر بر 45 تقسیم شود، باقیمانده مجذور خارج قسمت باشد کدام است؟

مثال: عدد بزرگترین عدد به این شکل است که بر 36 بخش پذیر است.

حاصل x+y کدام است؟

مثال: چند عدد دورقمی به صورت وجود دارد بطوریکه مضرب 13 باشد.

مثال: اگر عدد عدد را عاد کند باقیمانده تقسیم عدد بر 12 را بدست آورید.

مثال: اگر باشد.

باقیمانده تقسیم عدد 32+ab بر n را بدست آورید.

(2n>) مثال: اگر باقیمانده