فوتبال مردمی ترین ورزش جهان است.
جام جهانی تابستان امسال توسط بیش از صدها میلیون بیننده که بسیاری از آنها فوتبال بازی میکنند، مشاهده خواهد شد.
علیرغم چنین علاقه ای، توجه اندک به جنبه های علمی بازی چشمگیر است.
برای نمونه گلف و کریکت[2] مورد توجه بیشتری قرار گرفته اند.
اما برای یک فیزیکدان، مکانیک و آئرودینامک فوتبال پهنه وسیعی از سئوالات جالب را فراهم می آورد.
هنگامی که موضوع فیزیک فوتبال پیش می آید اغلب صحبت بر سر خط سیر منحنی توپ فوتبال است.
برای مثال در طول برگزاری جام جهانی 1974 بینندگان تلویزیون از مشاهده ضربه موزی شکل غیر منتظره بازیکن برزیلی " روبرتو ریولینو" به شگفت آمدند.
از آن هنگام توانایی منحرف کردن مسیر توپ به عنوان یکی از مهارت های بازی به حساب می آید.
اما بینندگان هرگز از مشاهده یک ضربه ماهرانه قوس دار خسته نمی شوند.
در سال 1997 طرفداران فوتبال در سراسر دنیا با مشاهده شوت قوس دار کاملاً ویژه ای که توسط یک بازیکن برزیلی دیگر – روبرتو کارلوس- در بازی مقابل فرانسه نواخته شد، هیپنوتیزم شدند.
ضربه او که یک شوت آزاد از فاصله 30 متری دروازه حریف بود قبل از آنکه قوس برداشته و در گوشه دروازه فرانسه فرود آید، دیوار دفاعی آنها را با فاصله حداقل 1 متر دور زد.
طرفداران تیم انگلستان امیدوارند که "دیوید بکام" –استاد تمام فنون در حال حاضر- در صورت بهبود استخوان شکسته پایش بتواند چنین شگردهایی را در تابستان امسال بکار گیرد.
بیشتر فیزیکدانان میدانند که خط سیر منحنی توپ بخاطر اثری بنام اثر مگنوس[3] است، اما تا حدی در تشریح آن نامطمئن بوده و توضیحات ساده ای که انتشار می یابد اغلب گمراه کننده است.
قبل از درنظر گرفتن مسیر منحنی توپ اجازه دهید با مسئله ساده تری یعنی جهش توپ شروع کنیم.
این موضوع باز هم بطور ضمنی به جام جهانی اشاره دارد.
چه کسی میتواند گل سوم و بحث برانگیز گئوف هورست[4] را در پیروزی 4 بر 2 انگلستان در مقابل آلمان غربی در جام جهانی 1966 فراموش کند؟
شوت هورست از روی تیرک عمودی به داخل گل و سپس به بیرون پرید و در نهایت توسط یک مدافع آلمانی برگشت داده شد.
چگونه چنین چیزی ممکن است اتفاق بیافتد؟
جهش توپ اینکه توپ چگونه از روی زمین می جهد موضوع مهمی در فوتبال است.
بر روی سطوح سخت جهش بلند توپ میتواند بازی را بی مزه کننده کند در حالی که یک توپ نرم مطلقاً به بالا نمی جهد.
اما این حقیقت که شوت چیزی بجز جهش توپ از روی پا نیست نیز دارای همان اهمیت است.
نکته مهم دیگر که باید به آن توجه کرد آنست که جهش یک توپ گلف یا اسکواش[5] از روی یک سطح سخت به دلیل خاصیت ارتجاعی[6] مواد تشکیل دهنده آنها است ولی پوشش توپ فوتبال هیچگونه خاصیت ارتجاعی ندارد.
توپ باد نشده ای که به زمین انداخته شود روی زمین می ماند.
برای آنکه نسبت به فیزیک جهش دیدی بدست آوریم ساده ترین حالت را درنظر بگیرید که توپ بطور قائم سقوط میکند.
هنگامی که توپ به زمین برخورد میکند سطح تحتانی توپ تخت میشود.
لذا تعادلی میان فشار هوا به سمت پایین و نیروی عکس العمل سطح به سمت بالا بوجود می آید (شکل 1الف).
از آنجا که فشار هوا ضرورتاً یکنواخت است، نیروی عکس العمل با سطح تماس وآن به نوبت خود با تغییر شکل قائم توپ متناسب است- به شرطی که تغییر شکل زیاد نباشد.
یک محاسبه ساده نشان میدهد که تغییر شکل توپ ...
...
(شکل 1ب را ببینید) از آنجا که ضربه به توپ حقیقتاً یک جهش از روی پا است، اینکه چگونه توپ از روی زمین می جهد نقش کلیدی در فوتبال بازی میکند.
الف) در طول یک جهش نیروی ناشی از فشار هوا بر روی پوشش تخت شده توپ با نیروی عکس العمل زمین خنثی میشود.
ب) فاصله مرکز توپ تا زمین ...
برابر است با ...
که در آن ...
شعاع توپ و ...
میزان تغییر شکل توپ است.
س) برای توپی که بطور قائم سقوط میکند مقدار ...
در طول زمان جهش مطابق رابطه ...
بطور سینوسی با زمان تغییر میکند که در آن ...
، ...
و ...
به ترتیب برابر محیط، فشار و جرم توپ اند.
د) توپی که تحت یک زاویه کوچک به زمین برخورد میکند در طول جهش روی زمین لیز می خورد.
ی) هرچند توپی که تحت یک زاویه بزرگتر به زمین برخورد میکند تا هنگام ترک زمین روی آن میغلتد.
مطابق با رابطه ...
محیط توپ، ...
فشار و ...
جرم توپ است، بصورت سینوسی با زمان تغییر میکند.
زمان جهش برابر است با ...
(شکل 1س را ببینید).
تقریباً واضح است که سه متغیری که بازه زمانی جهش را معین میکنند- محیط، فشار و جرم توپ- دقیقاً همانهایی هستند که توسط قوائد بازی تعیین میشود.
یک توپ معمولی با جرم 0.45 کیلوگرم محیط 70 سانتیمتر و فشار 0.85 اتمسفر زمان جهشی برابر 8 میلی ثانیه دارد – این نتیجه توسط آزمایشهای انجام گرفته با دوربینهای بسیار سریع تایید شده است.
جالب است اشاره شود که این زمان از فاصله زمانی 40 میلی ثانیه ای میان تصاویر متوالی تلویزیون کوتاه تر است و این به آن معناست که مغز ما به عنوان تماشاگر این فاصله زمانی را پر کرده و لذا اغلب متوجه جهش واقعی نمی شویم.
در محاسبات زمان و حرکت جهش از اتلاف (انرژی) بخاطر انعطاف پذیری سطح توپ چشمپوشی شده است.
این تقریب بر مقیاس زمانی تاثیر قابل توجهی ندارد اما آشکارا موجب میشود که میزان انرژی جنبشی برآورد شده توپ بیشتر از حد واقعی گردد.
این اثر را میتوان با نوشتن سرعت توپ پس از جهش ...
بصورت ...
سرعت اولیه توپ و ...
ضریب اتلاف[7] است بیان نمود.
این ضریب که برای یک برخورد کاملاً کشسان 1 است، وابسته به طبیعت سطح مورد نظر بوده و میتواند بین 0.8 برای سطح سخت و 0.6 برای چمن کوتاه تغییر کند.
اینکه چگونه توپ پس ازآنکه تحت زاویه ای به زمین می خورد از روی آن جهش میکند، بسیار پیچیده است.
توپ ابتدا با سرعت افقی برخوردش روی زمین سر خورده و یک نیروی اصطکاک افقی تولید میکند.
این نیرو دارای دو اثر است: موجب کاهش حرکت افقی گشته و یک گشتاور بر توپ اعمال میکند.
وجود گشتاور به آن معناست که توپ ضمن آنکه در طول جهش کند میشود شروع به غلتیدن هم می کند.
بسته به زاویه ای که توپ با آن به زمین برخورد میکند دو حالت ممکن است اتفاق افتد.
توپی که با زاویه کمی نسبت به زمین به آن برخورد میکند میتواند حتی پس از تکمیل شدن جهش روی زمین بلغزد (شکل 1د).
اما اگر توپ با زاویه تندی به زمین برخورد کند قسمت پایینی به حالت سکون در می آید و توپ درادامه زمان جهش روی زمین میغلتد (شکل 1ی( اگر توپ چنین چرخش بالایی دارد که سطح تحتانی آن به سمت عقب حرکت کند، حقیقتاً میتواند در طول جهش شتاب بگیرد.
هرچند این رخدادِ عادی نیست و بطور طبیعی توپ توسط جهش کند میشود.
لذا شنیدن این نکته از مفسر تلویزیون که توپ ضمن جهش از روی زمین خیس چمن " سرعت بیشتری به خود گرفته" تعجب برانگیز است.
فرض محتمل در چنین وضعیتهایی آنست که علیرغم عبارت "افزایش سرعت" توپ در طی جهش میلغزد و آنقدر که ما از تجربه انتظار داریم سرعتش کم نمیشود.
گل بحث برانگیز هورست برای انگلستان در جام جهانی 1966 شاید از مشهورترین جهشهای توپ در فوتبال ناشی شد هر دو جهش – از روی تیرک عمودی و از روی زمین- را میتوان با استفاده از مفاهیمی که در بالا گفته شد توضیح داد، اگرچه تحلیل جهش از روی تیرک عمودی بخاطر شکل تیرک سخت تر است.
آنچه که در حقیقت اتفاق افتاد را تنها میتوان با مطالعه عکسها و تصاویر تلویزیونی توضیح داد.
تحلیل حرکت آهسته نشان میدهد که توپ بطور کامل از خط دروازه عبور نکرد و خط نگه دار و داور مسابقه در اعطای گل دچار اشتباه شدند.
اگرچه انگلستان به چهارمین گل نیز دست یافت اما نامحتمل است که این موضوع مانع از بحث مردم در زمینه شوت هورست شود.
معهذا نظریه میتواند نقش خود را ایفا کند.
نتیجه آنست که اگر توپ تنها یک سانتیمتر پایینتر به تیرک عمودی برخورد کرده بود بطور کامل از خط دروازه عبور میکرد.
هرچند آنوقت طرفداران فوتبال از بحث در مورد یک موضوع جالب بدون بهره می ماندند اگرچه انگلستان به چهارمین گل نیز دست یافت اما نامحتمل است که این موضوع مانع از بحث مردم در زمینه شوت هورست شود.
هرچند آنوقت طرفداران فوتبال از بحث در مورد یک موضوع جالب بدون بهره می ماندند.
سلسله اتفاقاتی که در طی گل سوم بحث برانگیز انگلستان در پیروزی 4 بر 2 مقابل آلمان غربی در فینال جام جهانی 1966 رخ داد.
توپ بر روی خط دروازه برخورد کرده و سپس به بیرون از آن جهش میکند.
ضربه به توپ ضربه به توپ نیز میتواند همانند جهش مورد برسی قرار گیرد.
اگر پا در لحظه برخورد با توپ دارای سرعت ...
باشد، آنگاه در چهارچوب مرجع پا، توپ دارای سرعت ...
....
قبل از تماس و ...
بعد از جهش از روی پا خواهد بود.
بنابراین توپ دارای تغییر سرعتی جمعاً برابر ...
خواهد شد که مساوی سرعتی است که توپ با آن از پا دور میگردد.
در یک ضربه پنالتی خوب، توپ با سرعتی برابر 130 کیلومتر بر ساعت مسیر 11 متری نقطه پنالتی تا دروازه را در یک سوم ثانیه طی میکند و این به دروازه بان شانس اندکی برای دفع ضربه ای که دقیق زده شده میدهد.
سرعت پا چیزی حدود 80 کیلومتر بر ساعت است.
بیومکانیک یک ضربه سریع نیز جالب توجه است.
قسمت بالایی ران مجبور به چرخیدن و قسمت پایینی به عقب خم میشود.
در هنگام چرخش به دور مفصل ران قسمت پایینی یا تحت یک نیروی گریز از مرکز قرار میگیرد که میخواهد پا را به بیرون پرتاب کند.
در طول فرآیند ضربه زدن، پا شتاب گرفته و ران در حین ضربه زدن راست میشود.
این مطلب همانند ضربه رانشی در بازی گلف است.
بازو همان نقش قسمت بالایی ران و چوگان در حالی که با نزدیک شدن به توپ سرعت میگیرد، نقش بخش پایینی پا را بازی میکند.
در یک ضربه ساده بازیکن سعی میکند تا پا را در راستای مرکز توپ هدایت کرده تا از حرکت توپ به سمت جهت دلخواه اطمینان حاصل نماید.
یک ضربه ماهرانه که در آن سعی میشود تا مسیر توپ چرخشی بوده ولی به هدف اصابت کند، نیاز به مهارت بیشتری دارد.
برای آنکه دریابیم چگونه بازیکنان میتوانند مسیر توپ را کج کنند لازم است تا ابتدا نگاهی داشته باشیم بر چگونگی پرواز توپ در طول مسیرش.
آئرودینامیک توپ فوتبال بیشتر فیزیکدانان با قانون استوکس[8] که به شرح حرکت یک کره در یک شاره چسبناک[9] می پردازد آشنا هستند.
در سرعتهای بسیار کم، رانش توپی که در هوا حرکت میکند تماماً توسط چسبندگی معین میگردد.
هوا در اطراف توپ در راستای خطوط جریان حرکت میکند و جریان تکه شده منجر به استرسهایی میگردد که در نهایت یک نیروی رانشی روی توپ اعمال میکنند.
در این رژیم رانش متناسب است با سرعت ...
.
شرط مرزی در سطح توپ فوتبال نقش مهمی را آئرودینامیک توپ بازی میکند.
کتب درسی اغلب شرایط ریاضی ساده تری از جریان هوا را که بدون چسبندگی است بررسی میکنند که در آن هوا به سادگی از روی سطح کره سُر می خورد.
هر چند در حقیقت هوایی که با سطح کره در تماس است در سطح آن نگه داشته شده و با آن حرکت میکند.
این شرط مرزی آنگاه بر جریان هوای دور از سطح توپ از طریق نیروی چسبندگی تاثیرمیگذارد.
فاصله ...
که در آن جریان هوا تحت تاثیر چسبندگی قرار دارد تقریباً برابر است با ...
چسبندگی جنبشی [10] و ...
زمانی است که در طی آن هوا با توپ برهمکنش میکند.
میتوانیم زمان مشخصه را برابر ...
درنظر بگیریم که در آن ...
قطر توپ است.
این به آن معناست که ....
و در آن ....
عدد رینولدز[11] میباشد.
برای توپ فوتبال ...
در حدود 3800 است که در آن ...
بصورت کیلومتر بر ساعت بیان میشود.
رژیم استوکس متناظر است با ...
و به معنی آنست که تنها به توپ فوتبالی که با سرعتی کمتر از 25 سانتیمتر بر ساعت حرکت میکند قابل اعمال است.
توپهایی که با سرعت واقعی تری در حدود 25 کیلومتر بر ساعت حرکت میکنند عدد رینولدزی برابر ...
دارند.
آنگاه فاصله ...
تقریباً برابر خواهد بود با......
که در یک حدود میلیمتر است.
این فاصله چسبنده بسیار کوچک در سطح توپ به لایه مرزی [12] معروف است و مفهومی است که در آغاز قرن بیستم توسط یک فیزیکدان آلمانی به نام لودویگ پرانتل [13] در دینامیک شاره ها معرفی گشت.
خارج از لایه مرزی شاره ایده آل بوده و چسبندگی فاقد اهمیت است.
به هر حال داستان به اینجا ختم نمیشود.
اگرچه چسبندگی در تعیین الگوی شاره ضروری است، نیروی رانشی منتجه ضرورتاً یک نیروی اینرسی است.
الگوی شاره خود تحت تاثیر رفتار لایه مرزی است.
در پشت توپ لایه مرزی از سطح توپ جدا میشود و – در سرعتهای به اندازه کافی زیاد- ناپایدار میگردد.
برای یک