دانلود تحقیق آمار و احتمال

توزیع دو جمله ای : اگر آزمایشی دارای ویژگی های زیر باشد ، آزمایش تصادفی دوجمله ای است .

1- آزمایش ها مستقل از یکدیگر تکرار شوند 2- آزمایش ها به تعداد دفعات معین مثلا n بار تکرار شوند 3- آزمایش تصادفی به دو نتیجه ممکن موفقیت و شکست منجرگردد .

4- احتمال موفقیت ها در همه آزمایش ها ثابت و برابر p باشد .

مثال 1 : کدام یک از موارد زیر می تواند به عنوان آزمایش دوجمله ای تلقی شود ؟

الف- نمونه گیری تصادفی از 500 زندانی برای تعیین اینکه آیا آنها قبلا در زندان بوده اند یا خیر .

ب- نمونه گیری تصادفی از 500 زندانی برای تعیین طول مدت محکومیت آنها .

حل : مورد « الف » شرایط لازم برای یک آزمایش دوجمله ای را دارد .

1- آزمایش ها مستقل از یکدیگرند 2- تعداد آزمایش ها ( 500 ) ثابت است 3- هرآزمایش دو نتیجه دارد : یا در زندان بوده یا نبوده 4- احتمال موفقیت ها ( مثلا زندانی نبودن ) در همه آزمایش ها ثابت است .

مورد « ب » شرایط لازم برای یک آزمایش دوجمله ای را ندارد زیرا طول مدت محکومیت زندانیان متفاوت بوده و بنابراین هرآزمایش بیش از دو نتیجه دارد .

متغیر تصادفی و تابع توزیع احتمال متغیر تصادفی دو جمله ای عبارت است از تعداد موفقیت ها دریک آزمایش تصادفی دو جمله ای تابع توزیع احتمال دو جمله ای که در آن p احتمال موفقیت و x تعداد موفقیت ها در n آزمایش باشد به صورت زیر تعریف می شود : نکته 1 : توزیع احتمال دوجمله ای دارای دو پارامتر p , n می باشد .

مثال 2 : یک آزمون چندگزینه ای دارای 30 سئوال ، و هرسئوال دارای 5 جواب ممکن است که یکی از آنها درست می باشد اگر به تمام سئوالات پاسخ داده شود ، چقدر احتمال داردکه دقیقا 4 تای آنها پاسخ درست باشد ؟

حل : امید ریاضی ، واریانس و تابع مولدگشتاور 1- E ( X ) = np 2- Var ( X ) = npq 3- مثال 3 : احتمال اینکه مشتری ای که وارد فروشگاهی می شود چیزی بخرد 6 /0 است .

اگر 10 مشتری وارد فروشگاهی شده باشند امید ریاضی و واریانس تعداد مشتریان خریدکرده چقدر است ؟

حل : این موقعیت شرایط لازم برای یک آزمایش دوجمله ای را داردکه درآن 6 /0 = p ، 4/0= q و 10 = n ، پس : 24 /0 = 4 /0 * 6 /0 * 10 = npq = Var ( x) ، 6 = 6 /0 * 10 = np = E ( X) مثال 4 : تابع مولدگشتاورهابرای کمیت تصادفی X به صورت10 ( t e 8 /0 +2 /0 ) =M x ( t ) به دست آمده است ضریب تغییرات متغیرتصادفی X را بیابید .

حل : 10 = n ، 8 /0 = p ، 2 /0 = q → 10 ( t e 8 /0 + 2 /0 ) = M X ( t ) 27 /1= → 6 /1 = 2 /0 * 8 /0 * 10 = npq = Var (x) ، 8 = 8 /0 * 10 = n .p = μ = E ( X ) توزیع پواسن : اگر آزمایشی دارای ویژگی های زیرباشد ، آزمایش تصادفی پواسن است .

1- احتمال رخداد بیش ازیک حادثه دریک فاصله زمانی یا مکانی بسیارکوچک تقریبا صفر باشد .

2- احتمال رخداد یک حادثه درهرفاصله زمانی یامکانی متناسب با طول آن فاصله باشد.

3- احتمال رخدادها درفواصل زمانی یا مکانی مستقل ازهم باشد .

متغیر تصادفی و تابع توزیع احتمال : متغیر تصادفی X که بیانگر رخدادهای تصادفی پواسن دریک فاصله زمانی یامکانی معین است را متغیر تصادفی پواسن گویند اگر متوسط تعداد موفقیت درهرفاصله زمانی یامکانی برابر λ باشد ، تابع احتمال پواسن به صورت زیرتعریف می شود : .

.

و 2 و 1 و 0 = x نکته 2 : توزیع احتمال پواسن دارای یک پارامتر λ می باشد .

مثال 1 : به طورمتوسط درهردقیقه 2 اتومبیل برای تحویل بنزین وارد پمپ بنزین می شوند احتمال اینکه 2 اتومبیل در 5 دقیقه وارد پمپ بنزین شوند ، چقدر است ؟

حل : اتومبیل دقیقه 2 1 10 = λ 5 نکته 3 : اگر در توزیع دوجمله ای n بزرگ و p خیلی کوچک باشد می توان از توزیع پواسن استفاده کرد به طورکلی وقتی 20 ≤ n و 05 /0 ≥ p باشد ، توزیع پواسن تقریب خوبی برای توزیع دوجمله ای و وقتی 100 ≤ n و 10 ≥ np باشد ، تقریب بسیارعالی برای آن محسوب می شود یعنی : Np = λ ، مثال 2 : احتمال اینکه محصولی ضمن تولید معیوب شده 2 % است .

200 واحد محصول را به طورتصادفی انتخاب می کنیم ، احتمال اینکه حداقل یک محصول معیوب باشد چقدر است ؟

حل : 5 > 4 = λ = np → 02 /0 = p ، 200 = n 982 / 0 = - 1 = ( 0 = x ) f x -1 = ( 1 ≤ x ) f x امید ریاضی ، واریانس و تابع مولدگشتاور 1- λ = E ( X ) 2- λ = Var ( X) 3- = ( t ) M x مثال 3 : براساس تجربه مشخص شده است که یک تلفنچی 4 % از تلفن ها را اشتباه وصل می کند .

اگر امروز 200 تلفن وصل کرده باشد ، واریانس تلفن هایی که اشتباه وصل شده است را پیدا کنید .

حل : 8 = 04 /0 * 200 = p ، n = λ 8 = λ = Var ( X ) توزیع نرمال : مهمترین توزیع احتمال پیوسته در سرتاسر علم آمار ، توزیع نرمال است .

نمودار آن به نام منحنی نرمال نامیده شده و هم شکل زنگوله است .

متغیرتصادفی X که دارای توزیع زنگوله ای شکل باشد متغیرتصادفی نرمال نامیده می شود اگر X یک متغیرتصادفی نرمال با میانگین μ و واریانس باشد تابع چگالی آن به صورت زیر خواهد بود : که درآن .

14159 / 3 = π و .

71828 / 2 = e است .

وقتی که مقادیر μ و σ مشخص شده باشند منحنی نرمال دقیقا مشخص شده است .

معمولا وقتی متغیرتصادفی X دارای توزیع نرمال با میانگین μ و واریانس است آن را به صورت زیر نمایش می دهیم : نکته 4 : توزیع احتمال نرمال دارای دو پارامتر μ و می باشد .

مثال 1 : تابع فراوانی توزیع X به صورت است .

میانگین و انحراف معیار این توزیع را به دست آورده و مقدار A را حساب کنید .

حل : از مقایسه تابع با تابع توزیع نرمال نتیجه می شودکه : 4 = μ و 1= و از اینجا 707 / 0 = σ از طرفی : امید ریاضی ، واریانس و تابع مولدگشتاور : 1- E ( X ) = μ 2- Var ( X ) = σ 2 3- مثال 2 : تابع مولدگشتاورها برای کمیت تصادفی X به صورت بیان شده است .

ضریب تغییرات کمیت تصادفی X ، چقدر است ؟

حل : ازمقایسه M x ( t ) با تابع مولدگشتاور نرمال نتیجه می شودکه 50 = μ و 16= یا 4 = σ و ضریب تغییرات مساوی خواهد شد با : ازمقایسه M x ( t ) با تابع مولدگشتاور نرمال نتیجه می شودکه 50 = μ و 16= یا 4 = σ و ضریب تغییرات مساوی خواهد شد با : خواص توزیع نرمال : 1- توزیع نرمال نسبت به خط μ = x دارای تقارن است .

2- در توزیع نرمال پارامترهای مرکزی یعنی میانگین ، میانه و مد با هم برابرند ، پس : μ=me= mo 3- توزیع نرمال دارای یک نقطه ماکزیمم به ازای μ = x می باشد که مقدار ماکزیمم برابر با است .

4- توزیع نرمال دارای دو نقطه عطف به ازای σ ± μ = x می باشدکه دارای عرضی برابر با است .

5- در دو طرف میانگین ، منحنی به مجانب خود یعنی محور x ها نزدیک می گردد .

6- با تغییر پارامتر μ شکل توزیع تغییرنمی کند ولی با تغییر شکل توزیع نیز تغییرمی کند.

7- مساحت زیر منحنی نرمال و محور x ها برابر 1 است .

8- مساحت زیر منحنی نرمال به وسیله خط μ = x به دو قسمت مساوی که هریک مساوی است ، تقسیم می شود .

یعنی همواره بیشتر از 50 درصد از اندازه ها بیشتر ازمیانگین و 50 درصد از اندازه هاکمتر ازمیانگین است .

مثال 3 : فرض کنید توزیع عمر یخچال های تولیدی یک کارخانه با میانگین 30 و واریانس 15 نرمال باشد .

احتمال آنکه طول عمریکی از یخچال ها که به طورتصادفی انتخاب می شود کمتراز میانگین چقدراست ؟

حل : چون محور تقارن منحنی توزیع نرمال μ = x می باشد و مساحت سمت چپ آن است بنابراین .

توزیع نرمال استاندارد : اگریک متغیرتصادفی مانند X دارای میانگین μ و واریانس باشد آنگاه اگرمیانگین این متغیر تصادفی را از آن کسر و برانحراف معیار آن تقسیم کنیم ، داریم : به متغیر تصادفی حاصل که معمولا آن را با حرف Z نشان می دهیم « متغیراستانداردشده » و به این عمل استاندارد کردن می گویند .

میانگین متغیر استاندارد شده صفر و واریانس آن یک می باشد و به صورت نشان می دهند .

ثابت می شودکه اگر توزیع X نرمال باشد توزیع Z هم نرمال خواهد بود و لذا تابع چگالی آن به صورت : است ، به چنین توزیعی ، توزیع نرمال استانداردگویند .

مثال 4 : اگر اندازه دو نفر از جامعه نرمالی 10 و 16 و اندازه این دو نفر برحسب متغیر استاندارد Z صفر و 2 باشد ، میانگین و انحراف معیارکدامند ؟

حل : نکته 5 : تابع مولدگشتاور توزیع نرمال استاندارد به صورت زیر است : مثال 5 : تابع مولدگشتاورها برای متغیر تصادفی X به صورت بیان شده است.

امید ریاضی و واریانس کمیت x 3 = y را پیدا کنید .

حل : بنابراین کمیت Y برطبق قانون نرمال با امید ریاضی 0 و واریانس 9 توزیع خواهد شد .

سطح زیر منحنی نرمال : برای محاسبه احتمال اینکه متغیر تصادفی X کمیتی بین x1 تا x2 را اختیارکند ، همان طور که دربحث توزیع های پیوسته گفته شد ، عبارت است از : و در خصوص توزیع نرمال داریم : محاسبه انتگرال فوق ، عملی مشکل و وقت گیر است این مشکل به وسیله استانداردکردن داده های آماری حل می شود .

وقتی که X بین مقادیر x1 تا x2 است ، متغیر تصادفی Z بین مقادیر مربوطه قرارخواهدگرفت .

سطح زیرمنحنی X بین x1 تا x2 مطابق شکل بالا ، برابر سطح زیر منحنی Z بین z1 تا z2 خواهد بود از این رو داریم : جدول سطح زیر منحنی توزیع نرمال استاندارد : اعداد مندرج درمتن جدول ، نمایانگر سطح زیر منحنی نرمال استاندارد از صفر تا z است.

مثال 6 : توزیع نرمالی با 200 = μ و 100 = داده شده است مطلوب است محاسبه : الف- سطح پایین 214 ب- سطح بالای 179 پ- سطح پایین 188 و 206 حل : الف ) ب ) 9821 /0 = 0179 /0- 1 = ( 1 /2 - > Z ) P-1 = ( 179 > X ) P- 1 = ( 179 پ ) نکته 6 : درجدول تابع توزیع نرمال استاندارد شده مقادیر Z درفاصله ( 9 /3+ ، 9 /3-) محاسبه شده است .

علت محاسبه Z بین 9 / 3 تا 9 / 3- = z آن است که سطح نظیر از (4-، - ) و ( + و 4 ) به دلیل اینکه منحنی با خط z ها مماس می شود ، به اندازه ای کوچک است که می توان از آن صرفنظرکرد .

تقریب توزیع دوجمله ای به توسط توزیع نرمال : اگر X متغیر تصادفی توزیع دوجمله ای با میانگین np = μ و واریانس npq = باشد درآن صورت شکل حدی توزیع : وقتی که → n ، توزیع نرمال استاندارد ( 1 ، 0 ) خواهد بود .

نکته 7 : اگر در توزیع دوجمله ای n بزرگ و p نزدیک یک و صفر نباشد ، به طوری که که 5 جمله ای گسسته و توزیع نرمال پیوسته می باشد درصورت لزوم می توان از تصحیح پیوستگی استفاده نمود ، یعنی بسته به مورد به جای x از 5 /0 ± x استفاده نمود .

مثال 7 : فرض می شود نسبت موتورهایی که یک نقص درجریان مونتاژ دارند است در یک محموله خاص 200