دانلود تحقیق توزیع‎های احتمالی گسسته

مقدمه

در حالی که اغلب تعیین توزیع احتمالی برای یک متغیر تصادفی معین مفید است، بسیاری مواقع در استنباط آماری و تصمیم‎گیری توابع احتمالی متغیرها دارای یک فرم هستند.

در چنین مواردی استفاده از نظریه توابع احتمالی شرح داده شده در فصل پنجم برای به دست آوردن نتایج کلی در مورد توزیع احتمالی مثل میانگین و واریانس بهتر است از به دست آوردن این مشخصه‎ها در هر حالت ویژه.

زیراکسل کننده خواهد بود که در هر مورد جدید با استفاده از توزیع احتمالی یا چگالی، فرایند تعیین مشخصه‎ها مثل میانگین و واریانس را انجام دهیم.

خوشبختانه به اندازه کافی همانندی بین انواع معین از آزمایشهای منحصر به فرد معلوم وجود دارد، به طوری که به دست آوردن یک فرمول که نشان دهنده ویژگی عمومی این آزمایش‎ها باشد را ممکن می‎سازد.

در این فصل بعضی از توزیع‎های احتمالی متغیرهای تصادفی گسسته مثل توزیع‎ه ای دو جمله‎ای، فوق هندسی و پواسن را مطالعه خواهیم نمود و خواص آنها را بررسی می‎کنیم این توزیع‎ها از مهمترین توزیع‎های گسسته در آمار هستند که کاربرد زیادی دارند.

توزیع‎های احتمالی متغیرهای پیوسته با تأکید بر توزیع نرمال که کاملاً شناخته شده است و در آمار استفاده زیادی از آن می‎شود در فصل هفتم بحث خواهد شد.

آزمایش دو جمله‎ای
بسیاری از آزمایشگاه هستند که دارای یک ویژگی عمومی بوده و آن عبارت است از اینکه نتایج آنها به یکی از دو پیشامد دسته‎بندی می‎شوند.

برای مثال، «آزمایش دسته بندی یک متقاضی شغل که مرد یا زن است» دارای دو نتیجه می‎‏باشد، آزمایش پرتاب یک سکه که نتیجه آن پیشامد شیرآمدن و خط آمدن می‎باشد.

تولد یک نوزاد که نتیجه آن پسر و یا دختر می‎باشد.

آزمایش انتخاب یک کالای تولیدی که نتیجه آن تنها به یکی از دو صورت سالم و یا ناقص اتفاق می‎افتد.

در حقیقت این امکان همیشه وجود دارد که نتایج رخدادهایی که در زندگی روزمره اتفاق می‎افتد را به صورت دو نتیجه «موفقیت» و یا «عدم موفقیت» شرح دهیم.

امتحانهایی که تنها منتج به دو نتیجه می‎شوند، نقش بسیار مهمی در یکی از توزیع‎های احتمالی گسسته که کاربرد زیادی در عمل دارد یعنی «توزیع دو جمله‎ای» ایفا می‎کنند.

قبل از این که توزیع دو جمله‎ای را معرفی کنیم، آزمایش دو جمله‎ای را شرح می‎دهیم با توجه به مثالهای بالا و مثالهایی مثل مصاحبه با یک رأی دهنده که جواب آن موافق کاندیدای مورد نظر است و یا نیست.

پرتاب موشک که نتیجه آن به هدف خوردن و یا به هدف نخوردن است، ملاحظه می‎شود که صرف نظر از بعضی از تفاوتها همه آنها دارای یک مشخصه ویژه آزمایش دو جمله‎ای می‎باشند.

تعریف:
یک آزمایش دو جمله‎ای دارای فرضیات زیر است.

1-آزمایش دو جمله‎ای مرکب از n امتحان یکسان ساده است.

2-هر امتحان منتج به یکی از دو نتیجه می‎شود.

یک نتیجه را موفقیت و با S نشان داده و نتیجه دیگر را عدم موفقیت و با F نشان می‎دهیم.

3-احتمال موفقیت در یک امتحان ساده مساوی P است، که از یک امتحان به امتحان دیگر ثابت باقی می‎ماند احتمال عدم موفقیت مساوی q=1-P است.

4-امتحان‎ها از هم مستقل می‎باشند.

5-علاقمند به X، تعداد موفقیتهای هستیم که در nبار آزمایش ساده مشاهده می‎شود.

امتحانهای ساده‎ای که در این شرایط صدق می‎کنند به آزمایش‎های «برتولی» معروفند.

در عمل فرضهای بیان شده در یک آزمایش دو جمله‎ای تنها در حالتهای محدودی وجود دارند، اما مادامی که هر آزمایش روی آزمایش دیگر اثر ناچیزی داشته باشد می‎توان نظریه دو جمله‎ای را بکار برد.

برای مثال، احتمال این که یک رای‎دهنده موافق کاندیدای معینی در یک انتخاب سیاسی رأی به دهد تقریباً از یک امتحان به امتحان دیگر ثابت می‎ماند.

مادامی که جامعه رای دهندگان در مقایسه با نمونه نسبتاً بزرگ باشد.

اگر پنجاه درصد جامعه 1000 نفری از رای دهندگان کاندیدای A را ترجیح به دهند، آن گاه احتمال موافق بودن اولین مصاحبه شونده به کاندیدای A مساوی خواهد بود.

احتمال موافق بودن دومین مصاحبه شونده به کاندیدای A مساوی یا خواهد بود که بستگی دارد به اینکه آیا اولین مصاحبه شونده موافق بوده یا مخالف آن.

هر دو عدد نزدیک به هستند، در عمل برای سومین، چهارمین و nامین انتخاب هم همین طور است در صورتی که n
برای مثال، احتمال این که یک رای‎دهنده موافق کاندیدای معینی در یک انتخاب سیاسی رأی به دهد تقریباً از یک امتحان به امتحان دیگر ثابت می‎ماند.

هر دو عدد نزدیک به هستند، در عمل برای سومین، چهارمین و nامین انتخاب هم همین طور است در صورتی که n خیلی بزرگ باشد.

اما اگر تعداد جامعه 10 و تعداد موافق کاندیداA، 5 نفر باشند، آن گاه احتمالی این که اولین رای دهنده موافق A باشد مساوی و دومین مساوی یا بستگی به این که اولی موافق یا مخالف بوده است خواهد بود.

بنابراین برای جوامع کوچک، احتمال موافق بودن از یک رأی دهنده به رأی دهنده دیگر (از یک امتحان به امتحان دیگر) به طور محسوس تغییر می‎کند و نتیجتاً آزمایش دو جمله‎ای نخواهد بود.

توزیع احتمالی دو جمله‎ای توزیع دو جمله‎ای بوسیله مقادیر n و p که پارامترهای توزیع هستند توصیف می‎شود.

پارامتر هر توزیع عبارت است از یک مشخصه جامعه.

در توزیع دو جمله‎ای پارامتر n عبارت است «تعداد امتحانها» و p عبارت از احتمال موفقیت در هر امتحان ساده می‎باشد.

برای هر n وp داده شده با توجه به فرضیات آزمایش دو جمله‎ای می‎توان احتمال هر تعداد موفقیت را حساب کرد و نیز می‎توان دیگر مشخصه‎های توزیع مثل میانگین و واریانس را هم به دست آورد.

برای نشان دادن این که چگونه توزیع احتمالی دو جمله‎ای حاصل می‎شود،‌فرایند تولید را در نظر بگیرید که یک وسیله همانندی تولید می‎کند که به دو صورت سالم و یا ناقص دسته‎بندی می‎شود.

وقتی که فرایند به طور درست کار نکند، احتمال ثابت 10/0=p وجود دارد که کالا ناقص تولید شود.

تعداد ناقص‎ها هر مقداری از 0 تا تعداد آزمودنی (n) می‎تواند باشد.

برای مثال، ممکن است سئوال شود، «احتمال این که در یک نمونه تصادفی چهارتایی یک نتیجه ناقص باشد چقدر است؟

یا احتمال این که دو یا بیشتر در یک نمونه تصادفی چهارتایی ناقص وجود داشته باشد چقدر است؟

کلمه تصادفی معادل مستقل بودن در تعریف آزمون دو جمله‎ای است.

برای محاسبه احتمالات در آزمایش دو جمله‎ای می‎توانیم از قوانین ضرب احتمال استفاده کنیم.

مانند (یک رویداد) p(تعداد رویدادهای مربوط)=(پیشامد)p در یک مسئله دو جمله‎ای، علاقمند به محاسبه احتمال دقیقاً x موفقیت در n تکرار امتحان برنولی هستیم، که هر امتحان دارای احتمال موفقی p است.

به این معنی که ما x موفقیت و n-x عدم موفقیت داریم.

برای محاسبه چنین احتمالهایی، لازم است که احتمال یک رویداد از این وع را پیدا کنیم، آن گاه آن را در تعداد ممکن چنین رویدادهایی ضرب کنیم.

چون فرقی ندارد کدام رویداد را ابتدا بررسی کنیم، فرضی کنید به طور اختیاری این رویداد را بررسی کنیم که در آن x موفقیت ابتدا رخ دهد، ادامه پیدا کند یا n-x (عدم موفقیت).

فرض کنید موفقیت S= و عدم موفقیت F= باشد، بنابراین این رویداد ویژه به صورت زیر مرتب نمود.

SS…S FF…F n-x عدم موفقیت x موفقیت برای تعیین احتمال توأم چنین دنباله ویژه‎ای از موفقیت‎ها و عدم موفقیت‎ها، توجه کنید که امتحانها فرض می‎شوند که از هم مستقل هستند.

چون احتمال یک موفقیت p(S)=p و p(F)=q است، بنابراین داریم.

P(SS…S FF…F)=p(S)p(S)…p(S)p(F)p(F)…p(F) =(p)(p)…(P)(q)(q)..(q) می‎توان نشان داد که نشان دهنده احتمال هر دنباله‎ای است که در آن x موفقیت و n-x عدم موفقیت وجود دارد.

بنابراین کافی است بدانیم چند رخ داد متفاوتی وجود دارد که در آن x موفقیت و n-x عدم موفقیت داشته باشیم.

جواب عبارت است از تعداد ترکیب‎های x از n می‎دانیم این تعداد عبارت از بنابراین حاصلضرب در احتمال x موفقیت در n امتحان را با احتمال ثابت موفقیت (p) به صورت زیر به دست می‎دهد.

(6-1) (x موفقیت در n امتحان)p این توزیع را توزیع دو جمله‎ای گویند.

اگر متغیر تصادفی X دارای توزیع دو جمله‎ای با پارامترهای n و p باشد معمولاً آن را به صورت زیر می‎نویسند.

مثال 6-1 اگر کسر ناقصی تولید یک کالا مساوی 1/0=p باشد، در یک نمونه تصادفی چهارتایی از این کالاها توزیع احتمالی تعداد کالاهای ناقص را حساب کنید.

حل: یک کالای انتخاب دو صورت خواهد داشت یا سالم است و یا ناقص.

احتمال این که یک کالای انتخاب ناقص باشد مساوی 1/0=p کالاهای انتخابی از همدیگر مستقل هستند بنابراین تعداد کالاهای خراب در نمونه دارای توزیع دو جمله‎ای است.

بنابراین توزیع احتمالی تعداد کالاهای خراب طبق جدول 6-1 خواهد بود.

جدول 6-1: توزیع دو جمله با 4=n و 1/0=p که در آن احتمال این که دقیقاً (1=x) کالای خراب در نمونه چهارتایی (4=n) وقتی که 1/0=p باشد، داشته باشیم به صورت زیر حساب می‎شود با استفاده از جدول 6-1 به سادگی می‎توان احتمال این که تعداد خراب‎ها کمتر یا مساوی 2 باشد را حساب کرد.

مثال 6-2 به منظور عیب یابی در تولید یک نوع کالا که به مقدار زیاد توسط ماشین در کارخانه تولید می‎شود، با استفاده از طرح نمونه‎گیری، کالای تولیدی بازرسی می‎شود.

ده قلم کالا به طور تصادفی انتخاب و مورد آزمایش قرار می‎گیرند.

چنانچه دو یا بیشتر کالای ناقص مشاهده شود، کالای تولیدی رد می‎شود.

اگر کل کالای تولیدی دقیقاً 5 درصد ناقص داشته باشد، احتمال این که کالا پذیرفته شود چقدر است؟

احتمال این که کالا رد شود چقدر است؟

حل: با توجه به شرایط یک آزمایش دو جمله‎ای، مشاهده می‎شود که تعداد کالاهای ناقص در نمونه، x دارای توزیع دو جمله‎ای زیر است.

در صورتی کالا پذیرفته می‎شود که در نمونه یا خراب مشاهده نشود و یا یکی مشاهده شود بنابراین آن گاه، احتمال رد کالا عبارت خواهد بود از مثال 6-3 یک واکسن جدید جلوگیری از سرماخوردگی برای تعیین اثر جلوگیری آن در سرماخوردگی عمومی مورد آزمایش قرار گرفته است.

برای این کار به ده نفر واکسن تزریق کرده و بعد از مدت یکسال مشاهده شده که هشت نفر زمستان را بدون سرماخوردگی سپری کرده‎اند.

فرض کنید وقتی که واکسن استفاده نشود، احتمال اینکه یک نفر بدون سرماخوردگی زمستان را سپری کند مساوی 5/0 باشد.

احتمال اینکه هشت نفر یا بیشتر زمستان را بدون سرماخوردگی سپری کنند بشرطی که واکسن در افزایش مقاومت بدن در برابر سرماخوردگی موثر نباشد چقدر است؟

حل: فرض کنید در صورتی که واکسن مؤثر نباشد، احتمال اینکه یک نفر زمستان را بدون سرماخوردگی طی کند مساوی 5/0=p است.

توزیع احتمالی برای x، تعداد سرما نخوره‎ها عبارت است از: مثالهای 6-1، 6-2 و 6-3 موارد استفاده توزیع دو جمله‎ای و محاسبه احتمال x موفقیت در n امتحان را با توجه به تعریف آزمایش دو جمله‎ای روشن می‎ساند.

البته نکته مهم این است که برای هر عمل فیزیکی بایستی دقیقاً مشخصه‎های آزمایش دو جمله‎ای بخش 6-2 برای تعیین اینکه آیا مدل آزمایش دو جمله‎ای برای عمل مورد نظر معتبر است تطبیق داده شود.

توجه می‎کنید که مثالهای فوق مسائلی احتمالی بودند تا آماری.

احتمال موفقیت در یک امتحان ساده معلوم است و ما می‎خواهیم در n امتحان احتمال پیشامدهای عددی معینی را حساب کنیم.

حال روش را بر عکس در نظر می‎گیریم، به این معنی که فرض می‎کنیم یک نمونه از جامعه داریم و می‎خواهیم راجع به p استنباط بکنیم.

شکل فیزیکی مثالهای 6-2 و 6-3 در صورتی که هدف نهایی استنباط آماری باشد وضعیت عملی خوبی به دست می‎دهد از این دو مسئله در بخش‎های آتی در استنباط آماری استفاده خواهیم کرد.

تمرین 6-1 اطلاعات قبلی نشان می‎دهد که 30درصد تمام بیمارانی که در یک کلینیک پذیرش می‎شوند نمی‎توانند هزینه خود را پرداخت کنند.

فرض کنید 4=n بیمار جدید نشان دهنده یک نمونه جدید از جامعه بیمارانی باشند که توسط کلینیک تحت مداوا قرار می‎گیرند.

احتمال اینکه الف) هیچکدام از بیماران هزینه را پرداخت نکنند.

ب) یک نفر از بیماران هزینه را پرداخت نکند.

ج) تمام بیماران هزینه را پرداخت کنند.

احتمال اینکه تیراندازی در هر شلیک تیر به هدف بزند مساوی 8/0 است.

او چهار تیر به هدف شلیک می‎کند، پیدا کنید.

الف) دقیقاً دو تیر به هدف بزند.

ب)لااقل یک تیر به هدف بزند.

ج)چهار تیر به هدف اصابت نماید.

6-3 یک روش جدید جراحی 80درصد با موفقیت انجام می‎شود.

اگر عمل جراحی پنج مرتبه انجام شود و فرض کنیم که عملاً از یکدیگر مستقل باشند پیدا کنید.

الف) احتمال اینکه هر پنج عمل با موفقیت انجام شوند چقدر است؟

ب) احتمالی اینکه کمتر از دو عمل به موفقیت بیانجامد چقدر است؟

ج) فقط چهار عمل با موفقیت انجام شود چقدر است؟

6-4 به تمرین 6-3 مراجعه نمائید، اگر کمتر از دو عمل با موفقیت همراه بودند در باره تیم عمل جراحی چه نظری داشتید؟

6-5 به تمرین 6-3 مراجعه کنید، اگر x تعداد موفقیت‎ها در عمل‎های جراحی باشد، توزیع احتمالی آن را رسم نمائید.

6-4-میانگین و واریانس توزیع دو جمله‎ای می‎دانیم که توزیع دو جمله‎ای بوسیله پارامترهای n و P مشخص می‎‏شوند.

از طرفی هر توزیعی دارای مشخصه‎هایی است مثل میانگین و واریانس.

بنابراین ممکن است در توزیع دو جمله‎ای، میانگین و