متاسفانه درباره و زندگی و شخصیت اقلیدس اطلاع کمی در دست بجز آنکه وی استاد ریاضیات در دانشگاه اسکندریه و ظاهراً موسس حوزه معروف و دیرپای ریاضیات اسکندریه بود.
حتی در تاریخ وقایع عمده زندگی و محل تولد وی معلوم نیست ، اما محتمل به مظر می رسد که وی تعالیم ریاضی خود را در کدرسه افلاطونی آتن فرا گرفته باشد.
سالها بعد ، پاپوس هنگام مقایسه اقلیدس و آپولونیوس و برای بی اعتبار کردن دومی ، از اقلیدس به خاطر فروتنی و توجهش به دیگران ستایش کرد.
پروکلوس خلاصه ائودموسی خود را با داستان مکرر گفته شده جواب اقلیدس به سوال بطلمیوس درباره راه میان بر در دانش هندسه کامل می کند که «هیچ راه شاهانه ای در هندسه وجود ندارد.» اما همان داستان درباره منایخموس ، وقتی به عنوان معلم در خدمت اسکندر کبیر بود ، نیز نقل شده است.
استوبائیوس حکایت دیگری دارد.
داستان دانش آموزی که پیش اقلیدس درس می خواند و پرسید از آموختن این موضوع چه چیزی عاید وی خواهد شد ، در نتیجه اقلیدس به غلامش امر کرد تا سکه ای به او دهد.«زیرا او از آنچه می آموزد باید سودی عایدش شود».
اصول اقلیدس
گرچه اقلیدس مولف حداقل 10 اثر بوده ، و متون نسبتاً کامل پنج تای آنها به دست ما رسیده است ، اما شهرت وی عمدتاً به خاطر اصول اوست.
به نظر می رسد که این اثر مهم بلافاصله و به طور کامل جای کلیه اصول قبلی را گرفته باشد ؛ در واقع ، هیچ اثری از تلاشهای قبلی بر جا نمانده است.
به محض اینکه این اثر پدید آمد ، مورد نهایت نوجه قرار گرفت و از جانشینان اقلیدس گرفته تا اعصار جدید ، تنها ذکر شماره مقاله و شماره قضایا برای مشخص کردن قضیه یا ساختمان خاصی کافی محسوب می شد.
هیچ اثری ، بجز کتاب مقدس ، به این وسعت مورد استفاده.
ویرایش ، یا مطالعه نبوده و احتمالاً هیچ اثر دیگری بیشتر از آن بر تفکر علمی تاثیر ننهاده است.
از زمان اولین چاپ آن در سال 1482 ، اصول اقلیدس متجاوز از هزار بار تجدید شده ، و برای بیش از دو هزاره ، این اثر تمام تعالیم هندسه را تحت سیطره داشته است.
متاسفانه هیچ نسخه ای از اصول اقلیدس که تاریخ آن به زمان مولف باز گردد ، یافته نشده است.
چاپهای جدید اصول مبتنی بر متن تجدید نظر شده به وسیله تئون اسکندرانی است که تقریبآً 700 سال بعد از نوشته شدن اثر اصلی ، تهیه شده است .
در اوایل قرن نوزدهم بود که نسخه قدیمی تری ، که تنها اختلافاتی جزئی با تحریر تئون داشت ، در کتابخانه واتیکان کشف شد.
مطالعه دقیق نقل قولها و توضیحاتی که نویسندگان اولیه داده اند نشان می دهد که تعریفها ، اصول متعارفیو اصول موضوعه رساله اصلی با متون تجدید نظرهای بعدی اندکی تفاوت دارد ولی قضا و براهین آنها اساسا به همان صورتی مانده اند که نگارش اقلیدس بوده است.
اولین ترجمه های لاتینی کامل اصول نه از یونانی و بلکه از عربی صورت گرفتند.
در قرن هشتم ، تعدادی از دستنوشته های آثار یونانی موجود در بیزانس به وسیله اعراب ترجمه شد.
و در 1120 ، محقق انگلیسی ، آدلارد باثی ترجمه لاتینی از اصول را از روی یکی از این ترجمه های عربی قدیمیتر به عمل آورد.
ترجمه های لاتینی دیگر از عربی توسط گرادوی کرمونایی (1187-1114) و ، 150 سال بعد از آدلارد ، به وسیله یوهانس کمپانوس صورت گرفت.
اولینذ انتشار چاپی اصول در 1482 در ونیز صورت گرفت و ترجمه کمپانوس را در بر داشت.
این کتاب بسیار نادر به طرز نفیسی تهیه گردید و اولین کتاب ریاضی مهمی بوده است که به چاپ می رسید.
ترجمه لاتین مهمی از یونانی توسط کوماندینو در 1572 انجام شد.
این ترجمه به عنوان مبنایی برای بسیاری از ترجمه های بعدی ، از جمله اثر بسیار معتبر رابرت سیمسن ، به کار گرفته شد ، که از اثر اخیر ، به نوبه خود ، نسخ انگلیسی متعددی اقتباس شدند.
اولین ترجمه انگلیسی کامل اصول ترجمه جاودانی بیلینگزلی منتشره در سال 1570 بود.
وجود کتابهای اصول دیگر پیش از اصول اقلیدس از ارزش کار او نمی کاهد.
به استناد خلاصه نویسی ائودموسی ، بقراط خیوسی اولین تلاش را در این راه به عمل آورد و بعد از او لئون ، که از لحاظ تاریخی بین افلاطون و ائودوکسوس قرار دارد ، به این تلاش دست زد.
گفته اند که در اثر لئون در مقایسه با اثر بقراط ، قضایا سنجیده تر انتخاب شده اند ، و این قضایا تعدادشان بیشتر و سودمندتر بوده اند بوده اند.
کتاب درسی آکادمی افلاطون توسط منگنزیایی نوشته شده بود و از آن به عنوان مجموعه اصول تحسین آمیزی ستایش شده است.
ظاهراً هندسه تئودیوس پیشرو بلافصل اثر اقلیدس و بدون شک در دسترس وی بوده است ، به ویژه اگر اقلیدس در آکادمی افلاطونی درس خوانده باشد.
اقلیدس با کار مهم تئایتتوس و ائودوکسوس هم آشنا بوده است.
بنابراین ، محتمل است که اصول اقلیدس ، عمدتاً ، تالیفی بسیار موفقیت آمیز و تدوینی منظم از آثار نویسندگان پیشین بوده باشد.
تردیدی نسیت که اقلیدس می بایست تعدادی از براهین را خود پیدا و تعداد مثیری را کامل مند ، ولی حسن عمده اثر او در گزینش ماهرانه قضایا و دادن ترتیب منطقی به آنهاست که از قرار معلوم از مثنی فرضهای آغازین استنتاج شده اند.
وجود کتابهای اصول دیگر پیش از اصول اقلیدس از ارزش کار او نمی کاهد.
تردیدی نسیت که اقلیدس می بایست تعدادی از براهین را خود پیدا و تعداد مثیری را کامل مند ، ولی حسن عمده اثر او در گزینش ماهرانه قضایا و دادن ترتیب منطقی به آنهاست که از قرار معلوم از مثنی فرضهای آغازین استنتاج شده اند.
مندرجات «اصول» بر خلاف تصورات رایج ، اصوا اقلیدس تنها منحصر به هندسه نبوده و بلکه شامل مقدار قابل ملاحظه ای مطالب راجع به نظریه اعداد و جبر مقدماتی (هندسی) است.
این اثر مشتمل بر 13 مقاله و کلا حاوی 465 قضیه است.
کتابهای درسی هندسه مسطحه و فضایی دبیرستانهای آمریکا شامل قسمت اعظم مطالبی است که در مقاله های I،III،IV،VI،XI،XII یافته می شوند.
مقاله I ، البته ، با تعاریف مقدماتی لازم ، اصول موضوعه ، و اصول متعارفی آغاز می شود ؛ ما در بخش 5-7 به این مطالب باز می گردیم.
47 قضیه اول مقاله اول به سه گروه تقسیم می شوند.
26 تای اول عمدتاً به خواص مثلثها می پردازند و سه قضیه تساوی را در دارند.
قضایای 27 تا 32 مقاله I نظریه خطوط موازی را بنا می نهند و ثابت می کنند که مجموع زوایای هر مثلث برابر دو قائمه است.
قضایای باقیمانده مقاله به متوازی الاضلاعها ، مثلثها و مربعها همراه با اشارات خاص به روابط مربوط به مساحتها مربوط اند.
قضیه 47 I ، همان قضیه فیثاغورس است ، با برهانی که عموماً به خود اقلیدس منتسب می شد ، و قضیه اخر ، 48 I ، عمس قضیه فیثاغورث است.
مقاله II ، مقایسه کوتاهی با تنها 14 قضیه ، به تبدیل مساحتها و جبر هندسی مکتب فیثاغورس می پردازد.
در همین مقاله است که معادلهای هندسی تعدادی از اتحادهای جبری را می یابیم.
قضایای 12 II و 13 II از اهمیت خاصی برخوردارند.
این تقاضا ، همراه با هم و به زبان امروزی تر ، از این قرارند: در یک مثلث منفرج الزاویه (حاده الزوایا) ، مربع ضلع مقابل به زاویه منفرجه (حاده) برابر است با مجموع مربعات دو ضلع دیگر مثلث به اضافه (منهای) دو برابر حاضلضرب یکی از این دو ضلع در تصویر دیگری بر روی این ضلع.
لذا این دو قضیه ، تعمیم قضیه فیثاغورث هستند که امروزه از آن با نام « قانون کسینوسها» یاد می کنیم.
مقاله III ، مرکب از 39 قضیه ، شامل بسیاری از قضایای آشنا درباره دایره ها ، وترها ، قاطعها ، مماسها ، و اندازه گیری زوایای مربوط به آنهاست که در کتابهای هندسه دبیرستانی دیده می شوند.
مقاله IV ، با تنها 16 قضیه ، ساختمانهای هندسی به وسیله ستاره و پرگار را برای چند ضلعیهای منتظم سه چهار ، پنج ، شش ، و پانزده ضلعی ، و محاط کردن این چند ضلعیها را در داخل یک دایره مفروض و محیط کردن آنها بر یک دایره مفروض را مورد بحث قرار می دهد.
چون از هندسه دوایر که در مقاله های III و IV آمده است.
در آثار فیثاغورس چندان چیزی یافت نمی شود ، مطالب این مقاله احتمالاً به وسیله سوفسطائیان اولیه و تحقیق کنندگان در سه مسئله مشهور بحث شده در فصل 4 تهیه شده است.
مقاله V بیان استادانه ای از نظریه ائودوکسوس در مورد تناسب است.
این نظریه قابل استفاده در کمیتهای نا متوافق و متوافق ، «رسوایی منطقی» ناشی از کشف اعداد گنگ به وسیله فیثاغورس را حل کرد.
تعریف ائودکسوس از تناسب ، یا تساوی دو نسبت، قابل توجه است ، و ارزش آن را دارد که در اینجا تکرار شود.
گویند کمیتهایی به یک نسبت اند ، اولی به دومی و سومی به چهارمی ، هر گاه ، اگر مضارب همضریب دلخواه از اولی و سومی ، و مضارب همضریب دلخواه از دومی و چهارمی اختیار شود ، مضربهای اول به یک گونه بیشتر از ، به یک گونه مساوی با ، به یک گونه کوچکتر از مضربهای دوم اند که به ترتیب متناظر اختیار شوند.
به عبارت دیگر ، اگر A ، B ، C ، D چهار کمیت بی علامت دلخواه باشند که A و B از یک جنس (هر دو یا قطعه خط ، یا زاویه ، یا مساحت ، یا حجم) ، C و D هم از یک جنس اند ، در این صورت نسبت A به B برابر است با نسبت C به D ، هرگاه به ازای اعداد صحیح مثبت دلخواه m و n داشته باشیم.
، بسته به اینکه .
نظریه ائودوکسوس درباره تناسب شالوده ه ای برای دستگاه اعداد حقیقی در آنالیز ریاضی عرضه کرد، که بعدها توسط دد کیند و وایر شتراس بسط یافت.
مقاله VI نظریه ائودوکسوس درباره تناسب را در هندسه مسطحه به کار می برد.
قضیه ای مبنی بر اینکه نیمساز داخلی هر زاویه از مثلث ضلع مقابل را به پاره خطهایی متناسب با دو ضلع دیگر تقسیم می کند ؛ تعمیمی از قضیه فیثاغورس که در آن ، به جای مربعها ، سه شکل متشابه ترسیم شده در روی سه ضلع یک مثلث قائم الزاویه رسم شده اند ، و بسیاری قضایای دیگر را می بینیم .
احتمالاً در این مقاله قضیه ای نیست که بر فیثاغورسیان اولیه معلوم نبوده ، اما برهانهای قبل از ائودوکس بسیاری از آنها مغلوط بوده اند ، زیرا که بر نظریه ناقصی در مورد تناسب مبتنی بوده اند.
مقاله های VII و VIII و IX ، که مجموعاً شامل 102 قضیه اند ، به نظریه مقدماتی اعداد پرداخته اند.
مقاله VII با فرآیندی برای یافتن بزرگترین مقسوم علیه صحیح مشترک دو عدد پرداخته اند.
نقاله VII با فرلایندی برای یافتن بزرگترین مقسوم علیه صحیح مشترک دو عدد یا بیشتر ، که امروزه به آن الگوریتم اقلیدسی می گوییم ، آغاز می شود و آن را به عنوان آزمایشی برای متباین بودن دو عدد به کار می برد.
در اینجا همچنین شرحی از نظریه عددی ، یا فیثاغورسی ، تناسب یافت می شود.
بسیاری از خواص اساسی اعداد در این مقاله اثبات شده اند.
مقاله VIII بیشتر با تناسبهای مسلسل و تصاعدهای هندسی هندسی مربوط سر و کار دارد.
اگر تناسب مسلسل a:b=b:c=c:d را داشته باشیم ، در این صورت a ، b ، c ، d یم تصاعد هندسی تشکیل می دهند.
در مقاله IX قضایای مهمی یافت می شوند.
قضیه 14 IX معادل است با قضیه مهمی که قضیه اصلی حساب خوانده می شود ، یعنی اینکه هر عدد صحیح بزرگتر از 1 را می توان به یک صورت و دقیقاً به یک صورت به شکل حاصلضرب اعداد اول نشان داد.
قضیه 35 IX روش استخراج هندسی فرمول مجموع n جمله اول یک تصاعد هندسی را می دهد ، و آخرین قضیه ، 36 IX ، فرمول مهم اعداد تام را که در بخش 3-3 بیان شد ، ثابت می کند.
برهان اقلیدس در مورد 20 IX – که تعداد اعداد اول بینهایت است.
عموماً به وسیله ریاضیدانان به عنوان نمونه ای از ظرافت ریاضی تلقی شده است.
این برهان روش غیر مستقیم ، یا برهان خلف را به کار می گیرد ، و اساساً به قرار زیر است.
فرض کنید تنها تعدادی متناهی عدد اول موجود باشند ، که آنها را با a ، b ، ...
، k نشان می دهیم.
حال P را به صورت k ...
P=ab در نظر بگیرید.
در این صورت 1+p یا اول است یا مرکب.
اما چون a ، b ، ...
، k همه اعداد اول اند ، 1+p ، که