دانلود تحقیق ریاضی عمومی

پیوستگی
6 .

1 مفاهیم اولیه پیوستگی
توابع پیوستگی از لحاظ دیداری، توابعی هستند که در هیچ نقطه‌ای پارگی نداشته باشند.

مثلاً تابع رسم شده در شکل 6 .

1 .

1، در نقطه a و b و c پیوسته نیست و در بقیه نقاط پیوسته است.

(شکل 6.

1.

1)
6.

1 تعریف تابع f را در نقطه a پیوسته می‌گوئیم هرگاه، f(a) موجود باشد.

6.

2 مثال فرض کنید تابع f به صورت زیر تعریف شده است.

اگر

پس f در پیوسته است.

اما،

بنابراین f در a=1 پیوسته نیست.

نمودار تابع در شکل 6.

2 رسم شده است.

2)
6.

3 مثال در شکل نمودار تابع ، رسم شده است.

شکل نشان می‌دهد که f‌ در پیوسته نیست.

3)
6.

4 تبصره فرق عمده‌ای بین ناپیوستگی تابع f‌ در مثال 6.

2 و تابع g‌ در مثال 6.

3 وجود دارد.

اگر مقدار f را در نقطه ، 5 تعریف کنیم، یعنی قرار دهیم ، در این صورت تایع پیوسته می‌شود.

ولی اگر را هر عددی اختیار کنیم، تابع نمی‌تواند پیوسته باشد.

اصطلاحاً ناپیوستگی f را رفع شدنی و ناپیوستگی g را رفع نشدنی می‌گوئیم.

6.

5 تعریف اگر f تابعی باشد که حول یک همسایگی از a تعریف شده باشد و در نقطه a ناپیوسته باشد.

ناپیوستگی f‌ را در نقطه a را رفع شدنی می‌گوئیم هرگاه موجود و متناهی بوده ولی .

در غیر این صورت ناپیوستگی را رفع نشدنی می‌گوئیم.

در حالت ناپیوستگی رفع نشدنی، عدد را در صورت وجود جهش در نقطه می‌گوئیم.

6 مثال تعیین کنید کدام یک از توابع زیر در نقطه داده شده ناپیوستگی دارند و از چه نوع؟

در در نقطه
حل برای f داریم:

در نتیجه f ناپیوستگی از نوع رفع شدنی دارد.

در مورد g‌ می‌توان نوشت:

داریم در نتیجه موجود نیست.

بنابراین g‌ ناپیوستگی از نوع رفع نشدنی دارد.

7 قضیه
الف) اگر f و g در نقطه a پیوسته باشند، آنگاه f+g ، f-g و fg نیز در نقطه a پیوسته هستند.

و همینطور اگر نیز در a پیوسته است.

ب) اگر f در a پیوسته باشد و g‌ در f(a) پیوسته باشد آنگاه gof در a پیوسته است.

اثبات (الف) با توجه به قضیه‌های 5.

2.

5 و 5.

6 واضح است.

(ب) با توجه به قضیه 5.

7 واضح است.

8 قضیه (پیوستگی توابع خاص)
1) توابع Sin x ، Cos x در هر نقطه پیوسته هستند.

2) توابع Cot x+ tan x در هر نقطه که تعریف شده باشند، پیوسته‌اند.

3) توابع چند جمله‌ای همه جا پیوسته‌اند.

4) توابع کسری در هر نقطه که تعریف شده باشند پیوسته هستند.

5) تابع ، اگر n فرد باشد همه جا پیوسته است ولی اگر n زوج باشد به ازای هر ، در a پیوسته است.

اثبات (1) و (2) از قضیه 5.

3.

5 نتیجه می‌شود، (3) از قضیه 5.

1 نتیجه می‌شود، (4) با توجه به (3) و قضیه 6.

7 اثبات می‌شود و (5) با توجه به قضیه 5.

3 ثابت می‌شود.

9 مثال توابع زیر را در نظر بگیرید:
الف)
ب)
ج)
نقاط ناپیوستگی را در صورت وجود پیدا کنید، نوع آنها را مشخص کنید و جهش آنها را در نقاط ناپیوستگی، در صورت وجود بیابید.

حل (الف) تابع در فاصله‌های و پیوسته است.

بنابراین، احتمالاً تابع در نقاط 3=x ، 1=x ناپیوستگی دارد.

داریم:


و مقدار تابع در 1=x برابر است با
پس تابع در 1=x پیوسته است.

نقطه 3=x را در نظر بگیرید:


چون حد چپ و راست تابع در این نقطه برابر نیست، پس تابع در نقطه 3=x ناپیوستگی نوع رفع نشدنی دارد.

جهش این تابع در این نقطه برابر است با:
(ب) داریم:


پس تابع در 3=x ناپیوستگی رفع نشدنی با جهش دارد.

(ج) تابع در تمام نقاط به جز پیوسته است.

پس تابع در ناپیوستگی رفع نشدنی با جهش دارد.

10 تعریف اگر یا یا هر دو موجود نباشد، می‌گوئیم تابع در ناپیوستگی اساسی دارد.

11 مثال در پیوستگی توابع زیر بحث کنید:
و و
حل با توجه به 5.

13، وجود ندارد، لذا g‌ در 0=x ناپیوستگی اساسی دارد و در بقیه نقاط پیوسته است.

و چون و ، لذا f(x) همه جا پیوسته است و h(x) فقط در نقطه 0=x ناپیوستگی از نوع رفع شدنی دارد.

(شکل 6.

4)

(شکل 6.

4)
6.

11 مثال فرض کنید .

b را طوری بیابید که f‌ در 0=x پیوسته باشد.

حل بایستی داشته باشیم .

اما


بنابراین
مجموعه مسائل 6.

1
1.

تابع را در نظر بگیرید.

اولاً تابع در چه نقاطی پیوسته است.

ثانیاً آیا می‌توان تابع را در نقطه 0=x طوری تعریف کرد که پیوسته گردد؟

2.

نقاط ناپیوستگی و نوع آنها را برای تابع f تعیین کنید:

3.

آیا a را می‌توان طوری انتخاب کرد که تابع ، در 0=x پیوسته شود.

4.

آیا تابع در هر نقطه از بازه پیوسته است؟

تابع چطور؟

5.

ثابت کنید:
الف) تابع D(x) در تمام نقاط ناپیوستگی اساسی دارد.

ب) تابع xD(x) در تمام نقاط بجز 0=x ناپیوستگی اساسی دارد و در 0=x پیوسته است.

ج) تابع در تمام نقاط بجز 1، 0=x ناپیوستگی اساسی دارد و در 1 ، 0=x پیوسته است.

آیا می‌توانید تابعی بسازید که در نقاط پیوسته باشد و در نقاط دیگر ناپیوستگی اساسی داشته باشد.

*7.

ثابت کنید تابع در هر عدد گنگ پیوسته است و در اعداد گویا ناپیوستگی رفع شدنی دارد.

*8.

ثابت کنید تابعی وجود ندارد که در هر عدد گنگ پیوسته باشد و در اعداد گویا ناپیوستگی اساسی داشته باشد.

9.

فرض کنید f و g همه جا پیوسته باشد ثابت کنید و نیز چنین هستند.

توضیح: و به صورت زیر تعریف می‌شوند.

راهنمایی برای هر ، a داریم:

10.

پیوستگی توابع مرکب و را بررسی کنید:
(الف) و (ب) و (ج) و در پیوستگی توابع 11 تا 22 بحث کنید.

نوع نقاط ناپیوستگی را مشخص کنید.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

در تمرینهای 23 تا 27 را طوری پیدات کنید که تابع پیوسته باشد.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

ثابت کنید تابع پیوسته است و در هیچ همسایگی از 0=x، تابع یکنوا نیست.

29.

فرض کنید f در یک همسایگی از یکنوا باشد و تابع معکوس f در آن همسایگی باشد.

ثابت کنید اگر f در پیوسته باشد، نیز در پیوسته است.

6.

2 قضایای وجودی (مقدار میانی و مقدار اکسترمم) در این بخش به دو قضیه مهم در مبحث پیوستگی می‌پردازیم که به قضایای مقدار میانی و مقدار اسکترمم معروف هستند.

1 قضیه ـ (قضیه مقدار میانی) ـ فرض کنیم f تابعی باشد که روی بازه بسته تعریف شده باشد و در هر نقطه از این بازه پیوسته باشد.

و همچنین داشته باشیم .

در این صورت Cای هست که و .

قبل از اثبات این قضیه به تعبیر ساده و جالب آن می‌پردازیم: تعبیر هندسی قضیه مقدار میانی فرض کنیم شکل 6.

1، نمودار تابع در بازه باشد که پیوسته است، و فرض کنیم f(a) زیر محور xها و f(b) بالای محور xهاست.

در واقع نمودار یک مسیر پیوسته‌ای است که از زیر خط افق شروع شده و به نقطه‌ای در بالای خط افق می‌رسد.

این مسیر در نقطه‌ای، خط افق را قطع می‌کند که در شکل 6.

1، نقاط چنین‌اند.

1) اثبات ـ فرض کنیم زیرا و همچنین b کران بالای S است.

پس طبق اصل تمامیت اعداد حقیقی کوچکترین کران بالا S موجود است، قرار می دهیم .

واضح است که و برای هر .

ادعا می‌کنیم .

چون f‌ در c پیوسته است لذا .

اگر .

بنابراین همسایگی چون از c وجود دارد به طوری که f‌ روی آن مثبت است (قضیه 5.

2) بنابراین برای هر .

بنابراین اگر باشد .

در نتیجه هر ، از کوچکتر مساوی است.

در نتیجه کران بالای S بوده و که تناقض است.

بنابراین همسایگی چون از c وجود دارد به طوری که f روی آن منفی است بنابراین اگر باشد، و این با تعریف c در تناقض است.

در نتیجه 0=f(c) و حکم ثابت است.

2 نتیجه ـ فرض کنیم f روی بازه بسته پیوسته باشد و در این صورت هست به طوری که .

اثبات ـ قرار می‌دهیم .

g روی بازه [a , b] پیوسته است و داریم .

بنابراین cای هست که 0=g(c) یعنی f(c)=d.

3 مثال ـ ثابت کنید معادله یک ریشه دارد.

حل ـ قرار می‌دهیم .

داریم، و f روی بازه پیوسته است، پس طبق قضیه مقدار میانی cای هست که و یعنی .

4 مثال ـ ثابت کنید معادله حداقل یک ریشه دارد.

حل ـ قرار می‌دهیم ، داریم: همچنین f روی بازه یوسته است، بنابراین طبق قضیه مقدار میانی، وجود دارد به طوری که 0=f(c)، یعنی .

5 قضیه ـ اگر f روی بازه [a,b] پیوسته باشد، آنگاه f کراندار است.

اثبات ـ فرض کنیم f‌ کران بالا نداشته باشد.

در بازه [a,b]، را چنان می‌گیریم که و را چنان اختیار می‌کنیم که و به همین ترتیب ...

را چنان اختیار می‌کنیم که .

حال فرض کنیم {فقط تعداد متنهای از xnها، کمتر از x باشند .

حال قرار می‌دهیم c=sup T.

اکنون برای عدد دلخواه ، بازه پس هست که .

حال اگر هیچ ای در نباشد، نتیجه می‌شود که و این با c=sup T تناقض دارد.

بنابراین ای هست که .

چون دلخواه است پس بی‌نهایت از ها در وجود دارد.

از طرف دیگر چون f در c پیوسته است، .

بنابراین تابعی پوچ‌گرا در c چون وجود دارد به طوری که: (1) را چنان اختیار می‌کنیم که .

بنابراین برای هر یا .

حال n را آنقدر بزرگ اختیار می‌کنیم که و ، در نتیجه که تناقض است.

بنابراین Mای هست که برای هر x، به همین ترتیب mای یافت می‌شود به طوری که برای هر x، .

بنابراین f کراندار است.

6 قضیه ـ اگر f روی بازه پیوسته باشد، آنگاه p، qای در وجود دارد به طوری که برای هر .

اثبات ـ بنا به قضیه 6.

5، مجموعه ناتهی کراندار است، لذا طبق اصل کمال کوچکترین کران بالای این مجموعه وجود دارد، فرض کنیم .

اگر برای هر قرار می دهیم .

چون هیچ وقت صفر نمی‌شود g بر پیوسته است پس طبق 6.

5، g کراندار است.

فرض کنیم چنان باشد که برای هر پس برای هر x، .

که با تعریف M در تناقض است.

بنابراین pای هست به طوری که .

لذا برای هر .

به همین ترتیب qای یافت می‌شود به طوری که برای هر .

مجموعه مسائل 6.

2 1.

فرض کنید یک تابع پیوسته باشد ثابت کنید وجود دارد به طوریکه 2.

فرض کنید پیوسته باشد، ثابت کنید برای هر n، ای وجود دارد که و .

فرض کنید پیوسته باشد و g تابعی پیوسته روی باشد که و ثابت کنید cای هست به طوری که .

4.

ثابت کنید هر معادله جبری با توان فرد، حداقل یک ریشه است.

5.

ثابت کنید حداقل یک ریشه در فاصله دارد؟

ثابت کنید نقطه ای از فاصله وجود دارد به طوری که 7.

فرض کنید f در پیوسته باشد و ثابت کنید cای هست که و .

3 پیوستگی یکنواخت فرض کنید که f تابعی باشد که در یک بازه چون I پیوسته است.

این بدین معنی است که به ازای هر y، تابعی پوچ گرا در y چون وجود داشته باشد به طوری که: (1) که این تابع ، به y بستگی دارد و در اصل می‌بایستی با نمایش داده شود.

مثلاً فرض کنیم و .

فرض کنیم در این صورت (2) بنابراین هر چه y به 0 نزدیکتر باشد در همسایگی y، می‌بایستی صعودی‌تر و نزولی‌تر باشد تا بتواند را در بر گیرد.

1) هر چه قدر دهنه تابع را کمتر کنیم، آن را نمی‌توان برای همه yها به کار برد، با نزدیک شدن yها به 0، دهنه باید تنگ و تنگ‌تر باشد و این به خاطر این است که f در به بی‌نهایت می‌گریزند و به اصطلاح f در بازه (1 ، 0) پیوسته یکنواخت نیست.

1 تعریف ـ تابع f را روی بازه I پیوسته یکنواخت می‌گوئیم هرگاه یک تابع پوچ‌گرا در 1 = x چون موجود باشد به طوری که: (3) در تعریف فوق تابع برای همه نقاط y در I است و بستگی به y ندارد.

2 تعبیر هندسی ـ اگر تابعی f روی I پیوسته باشد برای هر ، ای یافت می‌شود به طوری که: (4) تابع f وقتی پیوسته یکنواخت است که بتوان را طوری انتخاب کرد که آنها را به مبدأ منتقل کنیم تابع پوچ‌گرای در صفر موجود باشد به طوری که از همه آنها بزرگتر باشد.

2) یعنی تابع پوچ‌گرای پیدا شود به طوریکه (5) قضیه زیر را به عنوان مهمترین به عهده خواننده می‌گذاریم.

3 قضیه ـ هر گاه f در بازه بسته پیوسته باشد، f در به طور یکنواخت پیوسته است.

اثبات ـ تمرین 6.

4 قضیه ـ فرض کنیم و دو تابع پیوسته یکنواخت روی I باشند، در این صورت + نیز پیوسته یکنواخت است.

اثبات ـ فرض کنیم به ترتیب توابع پوچ‌گرا متناظر با و باشند که (6) قرار می‌دهیم