دانلود تحقیق فضای مختصات در فضا

می دانیم که هر نقطه در صفحه دارای دو مولفه طول و عرض است و بصورت دوتایی مرتب نمایش می دهند.

حال تجربه می کنیم که هر نقطه در فضا دارای سه مولفه است و بصورت سه تایی مرتب نمایش می دهند.

دستگاه فضایی شامل سه محور ox و oy و oz به ترتیب محور xها، yها و zها می باشد.

این دستگاه را دستگاه راستگرد می نامند.

صفحات مختصات: هر صفحه مختصات شامل دو محور است و بصورت زیر می باشد.

الف) صفحه xoy شامل دو محور ox و oy است ب) صفحه xoz شامل دو محور ox و oz است.

ج) صفحه zoy شامل دو محور oy و oz است.

مشحص کردن نقطه در فضای سه بعدی: برای اینکه نقطه A(x,y,z) را بتوانیم در فضای R3 مشخص کنیم مراحل زیر را طی می کنیم.

الف) نقطه (x,y) را در صفحه x,y مشخص می کنیم.

ب) پس به اندازه Z به موازات محور Zها حرکت می کنیم که اگر باشد به سمت بالا و اگر باشد به سمت پایین حرکت می کنیم.

مثال: نقاط و و در فضای R3 نمایش دهید.

مکان هندسی محورها و صفخات مختصات می توانیم محورهای مختصات و صفحات مختصات را بصورت مکان هندسی های زیر معرفی کنیم چون هر محور یا هر صفحه مجموعه نقاطی از فضا یا صفحه می باشند که دارای ویژگی مشترکی هستند پس می توان بصورت مکان هندسی آنها را معرفی کرد محور xها یا محور xها محور yها یا محور yها محور zها یا محور zها صفحه xoy یا صفحه xoy صفحه xoz یا صفحه xoz صفحه yoz یا صفحه yoz فاصله دو نقطه و وسط پاره خط AB در فضای R3 اگر و دو نقطه در فضای R3 باشد آنگاه برای بدست آوردن طول پاره خط AB و مختصات نقطه M وسط پاره خط AB از فرمول زیر استفاده می کنیم: مثال: اگر نقاط مختصات سه رأس مثلث باشند آنگاه طول میانه AM را بیابید.

قرینه بک نقطه نسبت به یک نقطه دیگر: اگر بخواهیم قرینه نقطه A را نسبت به نقطه M بدست آوریم باید مراحل زیر را انجام دهیم.

1-A را به M وصل می کنیم و به اندازه خودش امتداد می دهیم.

2-پس می توانیم فرمول زیر را برای محاسبه مختصات نقاط بدست آوریم.

مثال: قرینه نقطه را نسبت به نقطه بدست آورید.

مثال: فرینه نقطه نسبت به وسط پاره خط واصل بین دو نقطه بدست آورید.

مثال: اگر یک رأس مثلث ABC باشد و پای میانه CM باشد و نقطه مرکز ثقل مثاث باشد، طول ضلع BC را بیابید.

تصور یک نقطه نسبت به محورهای مختصات و صفحات مختصات: اگر نقطه نقطه ای کاملاً دلخواه در فضای R3 باشد برای بدست آوردن تصویر A نسبت به محورها و صفحات مختصات از فرمولهای زیر استفاده می کنیم.

تصویر نسبت به محور xها (1 تصویر نسبت به محور yها (2 تصویر نسبت به محور zها (3 تصویر نسبت به صفحه xoyها (4 تصویر نسبت به صفحه xozها (5 تصویر نسبت به صفحه yozها (6 تذکر: برای بدست آوردن تصویر یک نقطه روی یک محور مختصات باید مولفه مربوط به آن محور را حفظ کنیم و دیگر مولفه ها را صفر کنیم.

برای بدست آوردن تصویر یک نقطه روی یکی از صفحات مختصات باید مولفه های مربوط به آن صفحه را حفظ می کنیم و مولفه دیگر را حفظ کنیم.

(نکته مهم) اگر بخواهیم فاصله یک نقطه را تا یک محور مختصات بدست آوریم همان فاصله آن نقطه از تصویرش روی آن محور می باشد.

پس با توجه به ایت نکته می توانیم فرمولهای زیر را برای استفاده فاصله نقطه از محور بدست آوریم.می دانیم که هر نقطه در صفحه دارای دو مولفه طول و عرض است و بصورت دوتایی مرتب نمایش می دهند.

پس با توجه به ایت نکته می توانیم فرمولهای زیر را برای استفاده فاصله نقطه از محور بدست آوریم.

= فاصله A تا مبداء فاصله نقطه A تا محور xها = فاصله نقطه A تا محور yها = فاصله نقطه A تا محور zها مثال: فاصله نقطه تا محورهای مختصات را بدست آورید.

مثال: فاصله یک نقطه از محورهای ox، oy، oz به ترتیب 3، 2 و است.

فاصله این نقطه تا مبداء را بیابید.

مثال: فاصله نقطه تا محورهای مختصات را بیابید.

مثال: تصویر نقطه را نسبت به محور yها بدست آورید و بنامید.

سپس تصویر A را نسبت به صفحه XOZ بیابید و بنامید و در آخر تصویر وسط را نسبت به صفحه xoy بیابید.

قرینه یک نقطه نسبت به محورهای مختصات و صفحات مختصات: برای بدست آوردن قرینه یک نقطه مانند نسبت به محورها و صفحات مختصات باید از فرمولهای زیر استفاده کنیم.

قرینه نقطه A نسبت به محور xها (1 قرینه نقطه A نسبت به محور yها (2 قرینه نقطه A نسبت به محور zها (3 قرینه نقطه A نسبت به صفحه xoyها (4 قرینه نقطه A نسبت به صفحه yozها (5 قرینه نقطه A نسبت به صفحه xozها (6 تذکر مهم: برای بدست آوردن قرینه یک نقطه نسبت به هر محور یا هر صفحه مختصات باید مولفه یا مولفه های مربوط به آن محور یا صفحه را حفظ کند و مولفه دیگر را قرینه کند.

مثال: اگر نقطه و قرینه یکدیگر نسبت به محور xها باشد حامل را بیابید.

مثال: اگر قرینه نقطه نسبت به محور xها باشد و قرینه نقطه A نسبت به صفحه xoz باشد و تصویر A نسبت به صفحه xoy باشد نوع مثلث را مشخص کنید.

مثال: نقطه ای روی محور yها تعیین کنید که فاصله اش از نقطه برابر 10 باشد.

مثال: مقدار a را طوری تعیین کنید که فاصله نقطه از محور Zها برابر باشد.

مثال: دو نقطه و مفروضند a و b را طوری تعیین کنید که این دو نقطه نسبت به محور xها قرینه یکدیگر باشند.

مثال: روی محور xها نقطه ای پیدا کنید که فاصله اش از نقاط و یکسان باشد.

مثال: m را طوری تعیین کنید که فاصله نقطه از محور zها برابر 4 باشد مثال: سه نقطه مفروضند مقدار a را طوری تعیین کنید که مثلث در رأس C متساوی الساقین باشد.

بردار: هر پاره خط جهتدار در فضا را بردار نامند.

به عنوان مثال پاره خط که از A به B ختم شود همان بردار است.

نکته: چند بردار را هم ارز گویند هرگاه، هم جهت، هم اندازه و موازی هم باشند.

نکته: از میان تمام بردارهای موجود برداری که از مبداء مختصات شروع و به یک نقطه ختم می شود بردار مکان می نامند.

به عنوان نمونه در شکل فوق بردار بردار مکان است.

تذکر: پس می توان به این نتیجه رسید که هر سه تایی مرتب در فضا هم معرف یک نقطه است و هم معرف یک بردار است.

نکته: اگر و دو نقطه در فضا باشند برای بدست آوردن مختصات و طول بردار از دو فرمول زیر استفاده می کنیم.

مثال: اگر و دو نقطه در فضا باشند آنگاه طول و مختصات بردار را بدست آورید.

تذکر: چون هر نقطه در فضا به عنوان یک بردار است پس می توان بردار را در حالت کلی بصورت نامید.

که اندازه آن بصورت است.

مثال: مقدار x را طوری بیابید که باشد در صورتیکه باشد.

جمع دو بردار: الف) جمع جبری: اگر دو بردار و در فضا باشند آنگاه برای بدست آوردن جمع این دو بردار مولفه های نظیر به نظیر را با هم جمع می کنیم.

ب) جمع هندسی: از نظر هندسی جمع دو بردار خود یک بردار است که با یکی از روش های مثلثی یا متوازی الاضلاع جمع می شوند و نمایش می دهند.

1-قانون مثلثی: اگر ابتدا و انتهای دو بردار روی هم باشد، آنگاه برای جمع بستن ابتدای بردار اول را به انتهای بردار دوم وصل می کنیم.

این بردار همان حاصلجمع آن دو به روش مثلثی است.

2-قانون متوازی الاضلاع: اگر ابتدای دو بردار یکی باشد آنگاه از انتهای هر کدام به موازات دیگری بردار رسم می کنیم تا یک متوازی الاضلاع تشکیل شود.

قطر این متوازی الاضلاع همان جمع آن دو بردار است.

ضرب عدد در بردار (اسکالر در بردار): برای بدست آوردن حاصلضرب یک بردار در یک عدد باید آن عدد را در تمام مولفه های بردار ضرب کنیم.

تذکر: از نظر هندسی بردار برداری همراستای می باشد و با توجه به علامت r ممکن است هم جهت یا در خلاف جهت بوجود آید.

در خلاف جهت هم جهت مثال: ثابت کنید اگر و باشد آنگاه مثال: اگر باشد و باشد.

حاصل را بدست آورید.

مثال: اگر و دو بردار دلخواه در باشد زاویه بین دو بردار و را بدست آورید.

تعریف بردار صفر: هر بردار که بصورت باشد بردار صفر نامند.

و از نظر هندسی برداری صفر است که ابتدا و انتهای آن یک نقطه باشد.

تفاضل دو بردار: 1-از نظر جبری تفاضل دو بردار یعنی جمع با قرینه و بصورت نمایش می دهند.

2-از نظر هندسی می توانیم به یکی از نمودارهای زیر تحلیل کنیم.

(نکته مهم) اگر و اضلاع مجاور هم در یک متوازی الاضلاع باشند آنگاه قطرهای آن متوازی الاضلاع و می باشد.

مثال: اگر و دو ضلع مجاور در یک متوازی الاضلاع باشد آنگاه قطرهای این متوازی الاضلاع را بیابید.

(نکته مهم) اگر و دو ضلع در یک متوازی الاضلاع باشد آنگاه می توانیم برحسب زاویه بین و می توانیم سه حالت زیر را داشته باشیم.

(نکته مهم): اگر M نقطه کاملاً دلخواهی باشد.

هر بردار مانند را می توان برحسب A و B و M به صورت زیر نوشت مثال: اگر و باشد و M نقطه ای باشد که در صفحه باشد و همچنین رابطه وجود دارد، مختصات نقطه M را بیابید.

مثال: دو نقطه و مفروض اند.

اندازه بردار را تعیین کنید.

تذکر: اگر A و B و C و D چهار رأس متوازی الاضلاع ABCD باشد چون قطرهای متوازی الاضلاع همدیگر را نصف می کنند پس M وسط AC و BD می باشند.

بردار یکه: هر برداری که طول آن واحد باشد بردار یکه است.

هر بردار دارای یک بردار یکه است که بصورت نمایش می دهند.

مثال: اگر بردار و باشد آنگاه بردار یکه متناظر با بردار را بدست آورید.

مثال: اگر و باشد، آنگاه بردار یکه متناظر با بردار را بدست آورید.

(نکته مهم): دستگاه محورهای مختصات دارای سه بردار یکه است که بصورت زیر نمایش می دهیم.

یکه محور zها یکه محور yها یکه محور xها تذکر: هر بردار در فضا را می توان بصورت ترکیب خطی از k,j,i نوشت موازی بودن دو بردار: شرط اینکه دو بردار با هم موازی باشند این است که نسبت مولفه های نظیر به نظیر آنها مقداری ثابت و برابر باشد.

اگر تذکر: اگر یکی از مولفه های بردار صفر باشد باید مولفه متناظر آن در نیز صفر باشد.

مثال: اگر دو بردار و با هم موازی باشند مقدار a و b را بیابید.

مثال: اگر بردار موازی بردار باشد و باشد مختصات بردار را بیابید.

(نکته مهم) بررسی موازی بودن یک بردار با محورهای مختصات.

صفحه صفحه صفحه مثال: اگر و دو بردار باشند و بردار موازی محور ox باشد مقدار طول بردار بدست آورید.

ضریب داخلی: تعریف: اگر دو بردار در فضای باشند آنگاه حاصلضرب داخلی یا نقطه ای این دو بردار عددی است که از فرمول زیر بدست می آید.

مثال: اگر باشد حاصل عبارتهای زیر را بدست آورید.

مثال: اگر دو بردار و موازی باشند و و باشد مختصات را بیابید.

ویژگیهای ضرب داخلی (نقطه ای) ضرب داخلی بردارها بسته نیست.

یعنی حاصلضرب داخلی هر دو بردار یک عدد است.

ضرب داخلی خاصیت جابجایی دارد.

ضرب داخلی خاصیت پخشی دارد.

ضرب داخلی خاصیت شرکت پذیری ندارد.

در ضرب داخلی قاعده حذف بردار از طرفین تساوی ندارد.

مثال: حاصل عبارت را بدست آورید.

مثال: اگر و باشد حاصل عبارت را بیابید.

مثال: اگر و باشد حاصل عبارت زیر را بدست آورید.

(نکته مهم): اگر و دو بردار باشند آنگاه می توان اتحادها را بصورت زیر برای آنها عمال کرد.

مثال: اگر a و b و c سه بردار در فضا باشد و و و و باشد حاصل عبارتهای و و را بدست آورید.

مثال: اگر و و باشد حاصل کدام است.

مثال: اگر و باشد مقدار کدام است؟

مثال: اگر باشد مقدار و را تعیین کنید.

نکته: اگر و دو بردار در فضای R3 باشند و زاویه بین این دو بردار باشد آنگاه رابطه زیر وجود دارد مثال: اگر و آنگاه زاویه بین دو بردار و را بیابید.

مثال: اگر سه رأس مثلث ABC باشند آنگاه را بیابید.

مثال: اگر و و باشد زاویه بین دو بردار و را تعیین کنید.

مثال: اگر و و زاویه بین این دو بردار باشد مطلوب است محاسبه مثال: در شکل مقابل و و باشد مقدار کدام است.

(نکته مهم) چون زالویه بین هر دو بردار از فرمول ÷س می توانیم زاویه بین هر بردار مانند با محورهای مختصات را بدست آوریم.

اگر زاویه بین و محور ox اگر زاویه بین و محور oy اگر زاویه بین و محور oz نتیجه: می توانیم با توجه به نکته فوق رابطه زیر را بین Cosهای بردار a با محورهای