دانلود تحقیق حل عدد معادلات دیفرانسیل پاره ای (سیالات - حرارت)

معادلات دیفرانسیل: ارتباط بین یک تابع و مشتقات آن را معادله دیفرانسیل می نامیم و فرم کلی معادلات دیفرانسیل به صورت بالاست.

F=ma =yمکان سرعت شتاب معادله دیفرانسیل f=kx Y=Asinwt 1,3 مرتبه معادله دیفرانسیل: مرتبه هر معادله دیفرانسیل مرتبه بزرگترین مشتق آن معادله دیفرانسیل است.

مثال) مرتبه معادلات دیفرانسیل زیر را مشخص کنید.

3 (1 حل معادلات دیفرانسیل مرتبه اول : فرم کلی معادلات دیفرانسیل مرتبه اول به صورت می باشد .

حل این معادلات را وقتی که =f(x,y) yَ باشد یا باشد .

بررسی می کنیم.

1- معادلات تفکیک پذیر : اگر در معادلات دیفرانسیل به فرم =f(x,y) yَ داشته باشیم که در آن f(x) تنها تابعی از x و f(y) تنها تابعی از y باشد.

حل این معادلات به صورت زیر خواهد بود.

چون هدف از حل معادله دیفرانسیل تعیین مقدار y است باید از طرفین معادله انتگرال گیری نمائیم.

مثال) معادلات دیفرانسیل زیر را حل کنید.

(1 (2 (3 معادلاتی که به فرم هستند را می توان با تغییرمتغیر زیر تبدیل به فرم متغیرهای از هم جدا نمود.

برای اینکه آن ها را حل کنیم: مثال) معادله دیفرانسیل زیر را حل کنید: (1 جواب (2 معادلات همگن: تابع f(x,y) را همگن از درجه n می گوئیم هر گاه مثال) درجه همگنی تابع زیر را بدست آورید.

درجه همگن =3 (2 درجه همگنی=0 هر معادله دیفرانسیل به فرم را که در آن هر دو از درجه n باشند یک معادله دیفرانسیل همگن از درجه n می نامیم.

نکته : برای حل معادلات دیفرانسیل همگن از تغییر متغیرهای زیر استفاده می کنیم.

متغیرهای روبرو معادله دیفرانسیل همگن را به گونه ای تغییر می دهند که به کمک استفاده از روش متغیرهای از هم جدا قابل حل باشد.

مثال) معادله دیفرانسیل زیر را حل کنید.

(1 معادله همگن است.

(2 همگن از درجه 1 معادلات به فرم همگن نمی باشند ولی قابل تبدیل به معادلات همگن هستند.

برای تبدیل چنین معادلاتی به معادلات همگن باید دو خط را به مبدأ انتقال دهیم یا مبدأ مختصات به مبل تلاقی دو خط منتقل کنیم .

برای حل ابتدا محل تلاقی دو خط یعنی (x0,y0) را پیدا می کنیم و سپس باتغییر متغیرهای x=X+x0 و y=Y+y0 معادله را به فرم همگن تبدیل می کنیم.

پس از اینکه معادله همگن شد با تغییر متغیرهای معادله دیفرانسیل را حل می کنیم.

مثال) معادله دیفرانسیل زیرا را حل کنید.

(1 X1=0 درجه همگنی Arcton()- اگر دو خط موازی باشند از تغییر متغیر u=ax+by و u=ex+hy برای حل معادله دیفرانسیل استفاده می کنیم.

تمرین : (1 (2 (3 (4 (5 (6 (7 (8 (9 (10 معادلات دیفرانسیل کامل: معادلاتی به فرم p(x,y)dx+Q(x,y)dy=0 را کامل می نامیم اگر مشتق تابع p نسبت به مشتق g: برای حل معادلات دیفرانسیل کامل جواب را به صورت تابع u(x,y) حدس می زنیم که (1) یا (2) روش حل معادلات دیفرانسیل کامل : برای حل معادلات دیفرانسیل کامل از معادله (1) تابع U را به دست می آوریم در تابع به دست آمده f(y) مجهول است برای به دست آوردن f(y) تابعu به دست آمده را به معادله اعمال می کنیم.

روش 2: تابع را به دست می آوریم و در تابع به دست آمده مقدار f(x) مجهول است برای به دست آوردن f(x) تابع u حاصل را به معادله اعمال می کنیم.

مثال) ثابت کنید معادله زیر کامل است و جواب آن را به دست آورید.

(شرط کامل بودن) مشتق کامل است.

معادله کامل است.

معادله اول را به این معادله اعمال می کنیم.u انتگرال داخل معادله اول می گذاریم مثال) معادله دیفرانسیل زیر را پس از اثبات کامل بودن آن حل کنید.

کامل است.

فاکتورهای انتگرال گیری (فاکتور انتگرال) : چنانچه معادله دیفرانسیل کامل نباشد یعنی ممکن است بتوان تابعی مانند را پیدا کرد.

بطوریکه اگر این تابع در معادله دیفرانسیل به فرم فوق ضرب شود معادله دیفرانسیل کامل گردد.

اگر با ضرب تابع F(x,y) در معادله دیفرانسیل معادله کامل شود این تابع را (F(x,y)) یک فاکتور انتگرال می نامیم.

مثال) کامل بودن معادله دیفرانسیل زیر را بررسی کنید.

Xdy-ydx=0 کامل نیست کامل است.

مثال) معادله دیفرانسیل زیر را با فاکتور انتگرال داده شده حل کنید.

در سمت چپ و راست حل می کنیم کامل است.

معادلات دیفرانسیل خطی مرتبه اول: اگر یک معادله دیفرانسیل مرتبه اول را بتوان به فرم آنرا معادله دیفرانسیل خطی مرتبه اول می نامیم.چنانچه A(x)=0 باشد می توان طرفین معادله فوق را بر A(x) تقسیم نمود.

بنابراین فرم جدید آن بصورت زیر می شود.

اگر در معادله شماره (1) q(x)=0 باشد معادله دیفرانسیل را همگن و در غیراینصورت معادله دیفرانسیل را ناهمگن می نامیم.

حالت (1) : حل معادله دیفرانسیل خطی مرتبه اول در حالت همگن (یعنی Q(x)=0): I حالت (2) : جواب معادله دیفرانسیل خطی مرتبه اول ناهمگن به صورت زیر است: مثال) معادله دیفرانسیل خطی مرتبه اول زیر را حل کنید.

مثال) شرط اولیه هدف تعیین ثابت c موجود در معادله آخر است.

Y(0)=0 حل معادلات دیفرانسیل خطی مرتبه اول ناهمگن به کمک روش تغییر پارامتر: معادلات دیفرانسیل ناهمگن به فرم کلی روبرو می باشد .

برای حل این معادلات به کمک روش تغییر پارامتر ابتدا فرض می کنیم که این معادلات دیفرانسیل همگن هستند.

یعنی به حای حل معادله فوق معادله را حل می کنیم.

حل این معادله منجر به جواب زیر خواهد شد.

می باشد.

چون جواب یک معادله در خود آن معادله صدق می کند لذا با اعمال جواب به معادله دیفرانسیل تابع c(x) تعیین می شود.

مثال) معادله دیفرانسیل زیر را به کمک روش تغییر پارامتر حل کنید.

تمرین 1: معادلات دیفرانسیل زیر را حل کنید.

(1 (3 (4 (5 (6 (7 تمرین 2: معادلات دیفرانسیل زیر را به کمک فاکتور انتگرال های داده شده حل کنید.

(1 جواب: (2 جواب: (3 جواب: (4 جواب: xtan(xy)=c معادلات دیفرانسیل مرتبه دوم (حالت خطی): معادلات دیفرانسیل مرتبه دوم را خطی می گوئیم هر گاه به صورت زیر باشد: (1r(x)=0 همگن (2r(x)0 ناهمگن مثال) معادله دیفرانسیل را حل کنید.

2) جواب دارد.

قضیه: اگر ، یک جواب معادله دیفرانسیل خطی مرتبه دوم همگن باشد آنگاه طبق مثال قبل که c یک عدد ثابت می باشد نیز یک جواب معادله دیفرانسیل خواهد بود.

(مانند مثال قبل) قضیه 2: اگر2 y و 1y دو جواب معادله دیفرانسیل خطی مرتبه دوم همگن باشند آنگاه y1+y2 نیز جواب معادله دیفرانسیل خطی مرتبه دوم خواهد بود.

تذکر: چنانچه 2 y و 1y جوابهای معادله دیفرانسیل خطی مرتبه دوم همگن باشند آنگاه بر اساس قضایای (1) و (2) ، نیز یک جواب معادله دیفرانسیل خطی مرتبه دوم همگن خواهد بود.

تعیین جواب معادله دیفرانسیل خطی مرتبه دوم همگن : این معادلات دارای یک جواب عمومی به فرم yh(x) می باشند که به صورت زیر تعیین می شود برای تعیین جواب عمومی معادله دیفرانسیل خطی مرتبه دوم همگن باید معادله ای موسوم به معادله مفصر تشکیل داد.

برای تشکیل معادله مضمر به جای مشتق دوم یعنی ، t2 و به جای مشتق اول یعنی و به جای y، مقدار یک قرار می دهیم، در اینصورت معادله دیفرانسیل به یک معادله درجه دوم تبدیل خواهد شد.

حالت اول) اگر معادله مضمر دارای دو ریشه حقیقی متمایز باشد یعنی جواب عمومی به فرم زیر خواهد بود: مثال) جواب عمومی معادله دیفرانسیل زیر را حل کنید.

حالت دوم) اگر معادله مضمر دارای ریشه مضعف باشد یعنی مثال) جواب عمومی معادله دیفرانسیل زیر را به دست آورید: حالت دوم) اگر معادله مضمر دارای ریشه مضعف باشد یعنی مثال) جواب عمومی معادله دیفرانسیل زیر را به دست آورید: حالت سوم) معادله مضمر دارای ریشه حقیقی نمی باشد .

یعنی در این حالت معادله مضمر در این حالت دو ریشه موهومی یا مختلط به صورت مثال) جواب عمومی معادله دیفرانسیل زیر را به دست آورید.

مثال) جواب عمومی معادلات دیفرانسیل زیر را به دست آورید.

(1 (2 (1 حل (2حل اگر f(x) یعنی طرف دوم معادله به فرم یک چند جمله ای از درجه n باشند.

جواب خصوصی را به فرم زیر در نظر می گیریم.

تعیین جواب خصوصی معادلات دیفرانسیل مرتبه دوم غیر همگن: برای حل معادلات خصوصی از روشی به نام ضرایب نامعین استفاده می شود این روش را فقط در مورد معادلات خطی با ضرایب ثابت می توان مورد استفاده قرار داد.

جواب خصوصی معادلات دیفرانسیل خطی مرتبه دوم ناهمگن به فرم کلی yp(x) نشان داده شود.

قانون کلی اول: اگر f(x) یک معادله به فرم یک چند جمله ای از درجه n باشد جواب خصوصی را به فرم زیر در نظر می گیریم.

)n (یک چند جمله ای کامل از درجه :تعداد ریشه های صفر معادله مضمر است.m نکته: معادلات دیفرانسیل همگن فقط دارای جواب عمومی می باشند جواب کلی این معادلات به صورت y=yh(x) .

معادلات دیفرانسیل ناهمگن علاوه بر جواب عمومی دارای جواب خصوصی نیز می باشند فرم کلی جواب این معادلات به صورت .

t=0 t=4 عمومی خصوصی اگر معادله از درجه 2 باشد بیشتر از یک ریشه صفر نمی تواند داشته باشد.

مثال) جواب معادله دیفرانسیل زیر را به دست آورید.

عمومی خصوصی جواب نهایی قانون کلی دوم: اگر در معادلات دیفرانسیل به فرم f(x) به صورت باشد آنگاه جواب خصوصی به صورت زیر خواهد بود.

(یک چند جمله ای کامل از درجه n) m: تعداد ریشه های مساوی p معادله مضمر مثال) معادله دیفرانسیل ناهمگن زیر را حل کنید.

t2= چون مضاعف است عمومی خصوصی جواب نهایی مثال) معادله دیفرانسیل ناهمگن زیر را حل کنید.

عمومی خصوصی جواب نهایی تبدیل لاپلاس لاپلاس عملگری است که یک معادله دیفرانسیل را از یک فضا به فضای دیگری انتقال می دهد.

در فضایی جدید معادله دیفرانسیل حل شده وسپس به کمک عکس تبدیل لاپلاس به فضای اولیه بر می گردد.

فضای لاپلاس عکس تبدیل لاپلاس معادل روش تبدیل لاپلاس برای حل معادلات دیفرانسیل: مرحله اول) معادله دیفرانسیل را با اعمال تبدیل لاپلاس به معادله ای جبری تبدیل می کنیم.

مرحله دوم) جواب معادله جبری را به دست می آوریم.

مرحله سوم) با استفاده از تبدیل معکوس لاپلاس از جواب مرحله دوم جواب اصلی یا حل معادله دیفرانسیل را پیدا می کنیم.

تعریف تبدیل لاپلاس : تبدیل لاپلاس تابع f(t) که برای تعریف شده است با نماد F(s) نشان داده می شود و به صورت زیر محاسبه می شود: عکس تبدیل لاپلاس معکوس تابع F(s) است و با نماد 1-L نشان داده می شود.

قضیه (1): تبدیل لاپلاس دارای خاصیت خطی است.

قضیه (2) : معکوس تبدیل لاپلاس نیز دارای خاصیت خطی است.

مثال) تبدیل لاپلاس توابع زیر را محاسبه نمایئد.

(1 نتیجه (1) : تبدیل لاپلاس تابع f(t)=a به صورت است.

(2 مبهم نتیجه (2): لاپلاس تابع طبق مثال فوق به صورت زیر خواهد بود.

(3 نتیجه (3): (4 نتیجه (4): لاپلاس توابع sinat و cosat به ترتیب به صورت زیر است: مثال) لاپلاس توابع را به دست آورید.

هیپرولیک نتیجه (5): نتیجه (5) : جدول تبدیل لاپلاس: a و k اعداد ثابت اند.

مثال) تبدیل لاپلاس تابع زیر را پیدا کنید.

مثال) عکس تبدیل لاپلاس تابع زیر را تعیین کنید.

مثال) تبدیل معکوس لاپلاس تابع زیر را پیدا کنید.

F(t) مثال) تبدیل معکوس لاپلاس تابع زیر را تعیین کنید.

مثال) معکوس تبدیل لاپلاس عبارت فوق را به دست آورید.

فرض کنیم توابعی پیوسته به ازای باشد و متشق مرتبه n ام تابع f نیز به ازای ، پیوسته باشد آنگاه: بر اساس موارد فوق ارتباط میان لاپلاس یک تابع و مشتقات مرتبه بالاتر آن به صورت زیر است.

اگر به جای n مقدار بدهیم.

مثال) تبدیل لاپلاس تابع f(t)=sin(t) را به کمک روابط تبدیل لاپلاس تابع با مشتقات بالاتر آن حساب کنید.

مثال) تبدیل لاپلاس تابع را به کمک فرمول های تبدیل لاپلاس تابع با لاپلاس مشتقات بالاتر آن به دست آورید.

نکته: یکی از راه های تعیین تبدیل لاپلاس توابعی که لاپلاس آنها در جدول موجود نمی باشد این است که به کمک روابط تبدیل لاپلاس تابع با مشتقات بالاتر آن خود تابع یا توابعی را ایجاد کنیم که لاپلاس آنها در جدول موجود باشد.

مثال) تبدل لاپلاس تابع را محاسبه نمائید.

.

ضریب تبدیل لاپلاس برای حل معادلات دیفرانسیل : به کمک تبدیل لاپلاس معادلات دیفرانسیلی که شامل مشتقات از مرتبه بالا هستند به معادلاتی جبری بدل می شوند که در آنها اثری از مشتقات ضربه بالا دیده نمی شود این معادله جبری را حل می کنیم و سپس برای تعیین جواب معادله از تبدیل معکوس لاپلاس استفاده می کنیم.

روال حل معادلات دیفرانسیل به کمک تبدیل لاپلاس: از طرفین معادله دیفرانسیل تبدیل لاپلاس می گیریم در اینصورت باید مشتقات موجود در معادله دیفرانسیل را به کمک فرمول های ارتباط دهنده لاپلاس مشتقات آن جایگزین کنیم.

2) در صورت وجود عباراتی که لاپلاس آنها قابل محاسبه است این عبارات را محاسبه کرده و جایگزین می نمائیم.

3) معادله جبری حاصل را به گونه ای مرتب می کنیم که در سمت راست لاپلاس جواب یعنی L[y] و در سمت چپ فقط توابعی ثابت یا برچسب S باشند.

یعنی سمت راست هیچ تابعی از tنباشد.

4) برای تعیین جواب یعنی y تبدیل معکوس لاپلاس جواب مرحله 3 را به دست می آوریم.

حل مثال) اولین راهی که برای تعیین معکوس لاپلاس یک عبارت