دانلود مقاله دایره

دایره
معادله یک دایره
فرض کنیم C(a,b) مرکز و r شعاع دایره باشد .

فرض کنیم P(x,y) نقطه دلخواهی روی محیط دایره باشد.

در این صورت CP=r بنابراین

با مراجعه به معادله ، که عبارتی برای فاصله بین دو نقطه ارائه می دهد، داریم

که معادله مطلوب است.

اگر فرض کنیم a=b=0 یعنی مرکز دایره در مبدا باشد، در این صورت معادله به صورت زیر درمی آید.

معادله (1.19) می تواند چنین نوشته شود.

بنابراین معادله یک دایره به صورت زیر است

که در آن g ، f ، c اعداد ثابتی هستند.

بالعکس معادله (3.19) را می توان چنین بازنویسی کرد.

با مقایسه این معادله با (1.19) می بینیم که
(3.19) دایرهای به مرکز (-g-f) و با شعاع را نمایش می دهد(4.19)
در حالت کلی معادله یک دایره چنان است که
(یکم) ضرایب و مساویند (دوم) جمله xy وجود ندارد.

مثال 1.

معادله دایره ای با مرکز (4.3-) و به شعاع 7 را بیابید.

معادله عبارتست از


مثال 2.

مرکز و شعاع دایره را بیابید.

با قرار دادن معادله مفروض به صورت استانده (19.1) ابتدا لازم است طرفین را بر 4 تقسیم کنیم ، بنابراین
یعنی .

یا

بنابراین دایره دارای مرکز ( 0،2/3) و شعاع 1 است .

مثال 3، معادله دایره ای را بیابید که مرکزش (7-،4) بوده و بر خط
3x+4y-9=0
مماس باشد.

چون خط مماس بر دایره است .

بنابراین شعاع دایره برابر با فاصله عمودی مرکز تا خط می باشد .

پس
شعاع
بنابراین معادله دایره چنین است

یعنی ،

مثال ، معادله دایره ای را بنویسید که AB قطر آن باشد، در اینجا ، B,A نقاط و می باشند.

فرض کنیم P(x,y) نقطه دیگری از محیط دایره باشد (شکل 2.19 را ببنید)
شیبیهای AP و BP به ترتیب عبارتند از
و
چون AB قطر دایره است ، ؛ بنابراین AP و PB عمودند؛ پس بنابر (15.18) حاصلضرب شیبهای آنها برابر 1- است .

یعنی

یا

که شرطی است که بایستی مختصات هر نقطه دلخواه دایره در آن صدق کند و بنابراین معادله مطلوب می باشد.

2.19 معادله دایره ای که از سه نقطه غیر واقع بر یک استقامت می گذرد.

فرض کنیم که معادله دایره باشد و سه نقطه
باشند.

چون دایره ازهر سه نقطه می گذرد بایستی مختصات آنها درمعادله دایره صدق کنند.

بنابراین



دستگاهی از سه معادلهاست که می توان ان را بر حسب مجهولات g ، f و c حل کرد.

معادله دایره ای را بیابید که ازنقاط (6.1)،(3.2)،(2.3) می گذرد.

فرض کنیم معادله دایره باشد.

در این صورت چون (6.1) روی دایره قرار دارد داریم.

با حل دستگاه معادلات داریم .

بنابراین معادله مطلوب عبارتست از

3.19 معادله مماس بر دایره

درنقطه با دیفرانسیلگیری از معادله نسبت به x داریم
بنابراین شیب مماس در نقطه عبارتست از .

پس بنابر (6.18) معادله مماس چنین است.

یا یعنی ، مقدار را به هر دو طرف می افزاییم به دست می آید.

زیرا روی دایره قرار دارد.

بنابراین معادله مطلوب چنین است.

سهمی ، بیضی ، هذلولی و سهمی نیمه مکعبی مقدمه مکان هندسی نقطه P(x,y) که طوری حرکت می کند که نسبت فاصله اش از یک نقطه ثابت S (کانون ) ، و از یک خط ثابت ZQ (هادی) عددی ثابت است (e ، که به عنوان خروج از مرکز شناخته شده است)، مطابق با اینکه e کوچکتر ، مساوی یا بزرگتر از واحد باشد اشکال متفاوتی دارد.

این مکان مهمی است وقتی که e=1 ، بیضی است وقتی که e سهمی (e=1) فرض کنیم SZ خط ماربر کانون و عمود بر خط هادی ZQ باشد(شکل 1.25 را ببینید).

بنا بر تعریف مکان هندسی نقطه ، این مکان از نقطه وسط S و Z میگذرد.

صورت معادله مکان بستگی به انتخاب محورها دارد.

ساده ترین صورت معادله با گرفتن نقطه وسط S و Z به عنوان مبدأ و محورهای مختصات موازی و عمود بر QZ به دست می آید.

فرض کنیم ، نسبت به این محورها ، SO=OZ=a ، کانون S نقطه (a,0) است و هادی ZQ خط x=-a است.

اگر P(x,y) نقطه دلخواهی روی این مکان باشد.

PS=PM بنابراین یعنی بنابراین این ساده ترین صورت معادله سهمی است که با این انتخاب محورها به دست آمد.

برای رسم این سهمی (فرض کنیم a>0 ) ابتدامشاهده می کنیم که x منفی باشد y تعریف نشده است ، بنابراین منحنی تماماً درطرف راست مبدأ قرار دارد.

چون می توانیم معادله سهمی را به صورت بنویسیم، منحنی نسبت به Ox متقارن است وگاهی از این خط به عنوان محور یاد می شود.

اگر x صفر باشد ، نشان می دهد که محور y ها منحنی را در دو نقطه منطبق بر هم در نقطه (0.0) قطع می کند ، این نقطه راس سهمی نامیده می شود.

بنابراین منحنی بر محورy ها در راس مماس است.

شکل عمومی در شکل 2.25 نشان داده شده است.

طول پاره خط ماربر کانون و موازی خط هادی سهمی را وترکانونی موازی خط هادی نامند.

چون طول نقطه L x=a است، با جایگذاری در معادله (25.1) می بینیم که عرض LS دارای طول 2a است.

بنابراین مثال 1، معادله سهمی با کانون (5.4) و خط هادی x=3 را بیابید.

با مراجعه به شکل 25.2 فرض کنیم P(X,Y) نقطه دلخواهی از سهمی باشد، در این صورت P از کانون و خط هادی به یک فاصله است.

بنابراین SP=PM=PN-MN یعنی و این معادله را میتوان به صورت زیر بازنویسی کرد.

با مراجعه به شکل (2.25) می بینیم که راس V نقطه (4.4) می باشد.

اگر مبدا مختصات را به این نقطه منتقل کنیم معادله به صورت در می آید که همان معادله (1.25) با a=1 است.

مثال 2، معادله سهمی را بنویسید که کانونش (2،3-) و خط هادی ان x-y+1=0 باشد.

فرض کنیمP(X,Y) نقطه دلخواهی از سهمی باشد .

دراین صورت P از کانون و خط هادی به یک فاصله است .

بنابراین ](5.17) و (20.18) راببینید.[ یعنی بنابراین معادله مطلوب عبارتست از برای تحویل این معادله به ساده ترین صورت ] معادله (1.25) را ببنید[ احتیاج به تغییر مبدا و دوران محورها داریم.

این روش آخری خارج از سطح این کتاب می باشد.

مثال 3.

یک کابل تلفناز دو نقطه P و Q ، به فاصله 60 متر از یکدیگر آویزان فرض کنیم که این کابل به صورت سهمی آویزان باشد، معادله آن را بیابید.

با درنظر گرفتن محورها به صورتی که درشکل (4.20) نموده است ، معادله مطلوب به صورت می باشد.

نقطه Q دارای مختصات (30.3)است و روی منحنی قرار دارد، بنابراین و یا a=75 بنابراین معادله مطلوب عبارتست از 3.20 معادلات مماس وقائم در نقطه بر سهمی با ردیف انسیلگیری معادله سهمی .

نسبت به x داریم بنابراین شیب مماس در نقطه عبارتست از ومعادله مماس چنین است یا اما ، چون روی منحنی قرار دارد ، .

بنابراین ومعادله مطلوب عبارتست از بایستی توجه کرد که این معادله مماس را می توان از معادله اولیه سهمی با جایگذاری به جای و به جای 4ax به دست آورد.این قاعده مشابهی با قاعده ای در همین زمینه درمورد مماس بر یک دایره است.

قائم بر یک منحنی در یک نقطه خطی است ما بر آن نقطه عمود بر مماس در آن نقطه ، بنابراین چون شیب مماس است ] (3.20) را ببینید[ شیب قائم می باشد.

پس معادله قائم عبارتست از : مثال 1.

معادلات مماس بر سهمی در نقاط (3.12) و (48- ،48) را بیابید.

نشان دهید که این مماسها با هم زاویه قائمه می سازند و نقطه تقاطشان را بیابید.

در اینجا 4a=48 ؛ بنابراین a=12 برای مماس در نقطه (3.12) داریم ، .

بنابراین با جایگذاری این مقادیر در (3.20) داریم یا (یکم ) y=2x+6 همین طور برای مماس در نقطه (48- ،48) داریم یا (دوم) از (یکم) و (دوم) دیده می شود که شیبهای مماس ها 2 و 2/1- می باشند و حاصلضربشان 1- است.

بالنتیجه ، بنابر(15.18) ، مماسها بر هم عمودند.

از معادلات (یکم) و (دوم) ، در نقطه تقاطع بنابراین x=-12 و y=-18 .

دقت کنید که چون a=12 دراین حالت x=-12 معادله خط هادی است و این نقطه تقاطع روی خط هادی است.

4.20 نقاط تقاطع خط y=mx+c و سهمی برای یافتن نقاط تقاطع ، دستگاه معادله را حل می کنیم از و داریم یا مبین این معادله درجه دوم عبارتست از و یا بنابراین معادله درجه دوم (5.20) دارای دو ریشه حقیقی متمایز، دو ریشه برابر با دو ریشه مختلط هستند.

مطابق با اینکه بزرگتر ، مساوی ، یا کوچکتر ازصفر باشد.

بالنتیجه اگر ca/m خط منحنی را قطع نمی کند اگر c=a/m خط بر منحنی مماس است.

بنابراین بازاء کلیه مقادیر m ، خط بر سهمی مماس است.

مثال 1.

معادله مماس بر سهمی راکه موازی باخط y+x=5 است بیابید.

چون مماس موازی خط y+x=5 است ، شیبش با شیب خط برابر است .

بنابراین m=-1 .

چون معادله سهمی مفروض است و بنابراین a=-3 با جایگذاری این مقادیر a و m در معادله (6.20) معادله مطلوب عبارتست از یعنی مثال 2.

نشان دهید که نقطه تقاطع دو مماس عمود بر هم یک سهمی همواره روی خط هادی است.

فرض کنیم معادله سهمی باشد.

دراین صورت خط y=mx+a/m همواره بر سهمی مماس است.

اگر به جای –1/m,m قرار دهیم انگاه خط y=-x/m-am بر سهمی مماس خواهد بود که بر خط y=mx+a/m عمود است.

با تفریق آنها طول نقطه تقاطع این دو مماس از رابطه زیر به دست می آید: و یا یعنی x+a=0 و این معادله خط هادی است.

معادلات مماسهای وارد از نقطه (2.4) بر سهمی را بیابید.

معادله سهمی است ، بنابراین 4a=6 یعنی a=3/2 بنابراین هر مماس سهمی به صورت y=mx+3/2m است.

این مماس از نقطه (2.4) می گذرد هرگاه 4=2m+3/2m یعنی یا (2m-1)(m-3)=0 بنابراین m=1.2 یا m=3.2 .

پس مماسهای وارد ازنقطه (2.4) عبارتند از یعنی یعنی 5.20 معادلات پارامتری سهمی بازاء کلیه مقادیر t ، همواره ، درمعادله صدق میکند.

این عبارات را معادلات پارامتری سهمی نامند.

را می توان به عنوان یک نقطه عمومی سهمی به کار برد.

دراینجا t هر مقداری را میتواند اختیار کند.

با جایگذاری مختصات نقطه عمومی در (3.20) داریم یعنی معادله مماس در می باشد، همچنین یعنی معادله قائم در است.

نمودار یک سهمی راکه معادلات پارامتری آن و است رسم کنید.

این مثال را میتوان با فوریت با حذف t و به دست آوردن معادله دکارتی منحنی یعنی حل کرد.

درهر صورت برای روشن نمودن روش رسم از روی معادلات پارامتری به صورت زیر ادامه می دهیم : فرض کنیم t مقادیر 5- ، 4- ، 000،5+ را داشته باشد و از معادلات مفروض مقادیر x و y متناظر بامقادیر t رامی یابیم.

بنابراین می توانیم جدول زیر را بسازیم.

دو سطر آخر ما را درطرح ریزی نقاط ، و رسم منحنی بااستفاده ازآن نقاط، قادر می سازد.

(شکل 5.20) مثال 2.

مماس برسهمی درنقطه P خط هادی را در Q قطع می کند.

M نقطه وسط PQ است.

مختصات M را بر حسب پارامتر نقطه P بیابید و مکان هندسی M را هنگامی که P روی سهمی حرکت می کند بیابید.

فرض کنیم P نقطه باشد.

در این صورت بنا بر (8.20) معادله مماس در P عبارتست از بنابراین مختصات Q (-a,-a/p+ap) می باشد.

پس مختصات M عبارتست از مکان هندسی باحذف کردن P از این معادلات به دست می اید.

بنابراین داریم پس بالنتیجه مکان هندسی دارای معادله زیر است یعنی مثال 3.

یک وتر کانونی سهمی است ، S کانون است، اگر P نقطه باشد، نقطه را بیابید و سپس نشان دهید که زاویه مماسها در P و یک قائمه است.

چون P نقطه است ، معادله دکارتی منحنی است .

بنابراین S نقطه (a,0) است.

فرض کنیم نقطه باشد .

چون یک خط راست است ، شیب PS و شیب است.بنابراین یعنی ، پس از ساده کردن داریم یعنی چون ، بنابراین نقطه است.

بنابر (8.20) شیب مماس در ، 1/t است .

با استفاده از ان شیب مماس در یعنی –t است وحاصلضرب این دو شیب برابر 1- است.

پس زاویه مماسهای در P و برابر یک قائمه است.

6.20بیضی (e یادآوری می کنیم که S کانون است و ZQ خط هادی ، اگر نقطه دلخواهی ازمنحنی باشد و PM عمود بر ZQ باشد ، آنگاه SP=ePM ZSZ راعمودبر هادی ZQ می گیریم .فرض کنیم نقاط A و ، SZ را از داخل و ازخارج به نسبتe:1 تقسیم کند.

بنابراین A ، نقاط روی بیضی هستند.

صورت معادله .

شبیه سهمی .

به انتخاب محورها بستگی دارد.

ساده ترین صورت با گرفتن نقطه وسط به عنوان مبدا O و محورها مختصات ، موازی و عمود بر به دست می آید.

فرض کنیم ؛ در این صورت چون A و نقاطی روی این مکان هندسی هستند.

بنا بر تعریف ؛ بنابراین یعنی ، بنابراین پس ، بنابراین کانون S