دانلود تحقیق دایره

تعریف: مکان هندسی نقاطی از صفحه است که فاصله آنها از یک نقطه ثابت برابر مقدار ثابتی است.

تذکر: در تعریف فوق مقدار ثابت را شعاع دایره (R) و نقطه ثابت را مرکز دایره می نامند.

و هر دایره را بصورت نمایش می دهند.

روش بدست آوردن معادله دایره با استفاده از تعریف: تذکر: معادله فوق را معادله اولیه دایره می نامیم مثال: معادله دایره ای که مرکز آن نقطه و شعاع آن 3 می باشد بدست آورید.

تذکر: اگر مرکز دایره مبداء مختصات باشد معادله آن بصورت می باشد.

(نکته مهم): اگر معادله اولیه را باز کنیم می توانیم روابط زیر را نتیجه بگیریم.

حال در معادله فوق و و درنظر می گیریم تا معادله فوق بصورت که همان معادله ثانویه است، ظاهر شود.

(تذکر مهم): می توانیم از معادله روابطی را بدست آوریم که طبق آن روابط مرکز، شعاع دایره بدست آید.

مثال: مختصات مرکز و اندازه شعاع دایره را بدست آورید.

تذکر: در معادله ثانویه دایره حتماً باید ضرایب و فقط یک باشند.

پس اگر ضرایب و با هم برابر و غیر یک باشند ابتدا با تقسیم کل معادله بر آن ضریب آن را به حالت استاندارد تبدیل کنیم پس از فرمول فوق شعاع و مرکز را بیابیم.

مثال: مقدار k را طوری بیابید که شعاع دایره برابر 2 باشد.

(نکته بسیار مهم): هر معادله بصورت همواره معادله یک دایره نمی باشد.

ممکن است معادله فوق متعلق به یک نقطه و یا مجموعه تهی باشد.

پس با توجه به شروط زیر می توان رابطه فوق متعلق به یک دایره یا نقطه یا مجموعه تهی باشد.

معادله دایره است اگر (الف معادله نقطه است اگر (ب معادله تهی است اگر (ج مثال: حدود و مقدار k را طوری بیابید که معادله الف) معادله دایره باشد ب) مجموعه تهی باشد ج) یک نقطه باشد چند حالت مهم برای نوشتن معادله یک دایره 1-اگر مرکز و یک نقطه روی محیط دایره وجود داشته باشد.

در این حالت فقط کافی است فاصله M و O را بدست آوریم که همان R است.

مثال: معادله دایره یا بنویسید که مرکز آن باشد و نقطه نقطه ای از آن دایره باشد.

2-اگر نقطه های و دو سر پاره خطی بنام قطر یک دایره باشد آنگاه با استفاده از و شعاع و مرکز دایره بدست می آید.

مثال: معادله دایره ای را بدست آورید که نقاط و دو سر یک قطر آن باشد.

3-اگر سه نقطه و و غیرواقع بر یک خط راست باشند آنگاه برای نوشتن معادله آن از یکی از دو راه حل زیر استفاده می کنیم.

الف) اگر مرکز دایره باشد با حل دستگاه و بدست می اید و سپس شعاع آن بدست می آید.

و با استفاده از معادله اولیه می توانیم معادله دایره را بنویسیم.

ب) می توانیم مختصات نقاط A و B و C را در معادله قرار دهیم و پس از حل دستگاه a و b و c را بیابیم تا معادله ثانویه دایره حاصل شود.

مثال: معادله دایره یا بنویسید که از نقاط و و عبور کند.

راه حل (1) راه حل (2) 4-اگر دایره ای را بخواهیم بیابیم بطوریکه نقطه مرکز آن باشد و خط بر آن مماس باشد.

پس می توانیم فاصله O را از خط L: بدست آوریم که همان شعاع دایره است.

مثال: معادله دایره ای بنویسید که مرکز آن باشد و بر خط مماس باشد بدست آورید و آنرا رسم کنید.

5-اگر دو خط و بر یک دایره مماس باشند و یکی از مولفه های مرکز داده باشند می توانیم برای نوشتن معادله آن دایره مراحل زیر را انجام دهیم.

الف) با استفاده از فرمول شعاع دایره بدست می آید.

ب) معادله قطری از دایره بنام می نویسیم و پس با توجه به مسئله مختصات مرکز را در قرار می دهیم و مختص دیگر آن بدست اید.

مثال: معادله دایره ای بنویسید که بر دو خط و مماس باشد و طول مرکز آن باشد.

(رسم کنید) مثال: معادله دایره ای بنویسید که بر دو خط و مماس باشد و طول مرکز آن باشد.

(رسم کنید) 6-اگر معادله دو قطر از یک دایره و نقطه ای روی دایره داشته باشیم باید محل تلاقی دو قطر را که همان مرکز دایره است بدست آوریم و سپس فاصله مرکز تا نقطه داده شده را بدست آوریم که همان شعاع دایره است و در مرحله آخر با استفاده از فرمول اولیه دایره معادله آنرا بنویسیم.

مثال: دسته خطوط به معادله قطرهای یک دایره اند اگر این دایره از نقطه A بگذرد معادله آن دایره را بنویسید.

مثال: معادله دایره ای که اقطار آن در معادله دسته خط بوده و بر خط مماس باشد را بنویسید.

مثال: معادله دایره ای بنویسید که خطوط و قطرهای آن باشند و دایره بر محور yها مماس باشد.

مثال: معادله دایره ای را بنویسید که مرکز آن نقطه باشد و خط یک وتر به طول 8 روی آن ایجاد کند.

مثال: نمودار دایره از کدام نواحی مختصات عبور می کند؟

مثال: اگر در دایره به معادله مرکز دایره باشد و شعاع دایره برابر 3 باشد حاصل را بدست آورید.

(نکته مهم): برای تعیین وضعیت یک نقطه نسبت به یک دایره باید مختصات آن نقطه را در معادله دایره قرار دهیم در اینصورت یکی از سه حالت زیر رخ می دهد.

نقطه روی محیط دایره است.

اگر (الف نقطه بیرون دایره است.

اگر (ب نقطه درون دایره است.

اگر (ج مثال: وضع نسبی نقاط و و را نسبت به دایره بدست آورید.

نکته: برای بدست آوردن دورترین و نزدیکترین فاصله یک نقطه مانند M از دایره مراحل زیر را انجام می دهیم.

الف) فاصله نقطه M از مرکز دایره یعنی طول پاره خط OM را محاسبه می کنیم.

ب) با استفاده از فرمولهای مطالعه شده شعاع دایره را بدست می آوریم.

ج) (ممکن است M درون دایره باشد) نزدیکترین دورترین مثال: کمترین و بیشترین فاصله نقطه از دایره را بدست آورید.

نکته: برای بدست آوردن اوضاع نسبی یک خط نسبت به یک دایره باید فاصله مرکز دایره را از خط مورد نظر بدست آوریم که یکی از سه حالت زیر اتفاق می افتد.

(متخارج) (3 (متقاطع) (2 (مماس) (1 مثال: وضعیت خط نسبت به دایره را بدست آورید.

*نکات بسیار مهم مشترک بین هندسه تحلیلی و هندسه (2) 1-برای بدست آوردن طول کوتاه ترین وتر گذرنده از نقطه H در دایره از فرمول زیر محاسبه می شود.

2-اگر از نقطه M بیرون یک دایره خطی مماس بر آن دایره رسم کنیم برای محاسبه طول خط مماس دو راه حل وجود دارد.

الف) ب) در فرمول قسمت (ب) معادله دایره بصورت و می باشد.

مثال: قسمت (ب) فرمول فوق را ثابت کنید.

3-می دانیم طول مماسهای موسوم از یک نقطه بیرون دایره بر دایره با هم برابرند.

حال اگر بخواهیم معادله خطوط مماس را بدست آوریم از مراحل زیر استفاده می کنیم.

الف) معادله خط مماس فرضی با شیب m را می نویسیم ب) معادله خط d را با معادله دایره قطع داده و پس از معادله حاصل که درجه 2 نیز می باشد باید را حل کنیم تا مقدارهای m حاصل شود که همان خطوط و را به ما می دهد.

مثال: از مبداء مختصات مماسهایی بر دایره معادلات آن خطوط را بیابید.

تذکر: اگر زاویه بین دو مماس مرسوم از نقطه M بر دایره باشد رابطه زیر را داریم.

مثال: زاویه بین دو مماس مرسوم از نقطه بر دایره بدست آورید.

4-وتر مشترک (خطی که محل تقاطع دو دایره را بهم مصل می کند) برای بدست آوردن معادله خط AB (وتر مشترک) در صورتیکه معادلات دو دایره , وجود داشته باشند.

کافی است معادلات آنها را از هم کم کنیم و حاصل را مساوی صفر قرار دهیم.

مثال: معادله وتر مشترک دو دایره و را بیابید.

سپس طول وتر مشترک را بیابید.

مثال: معادله وتر مشترک دو دایره زیر را بیابید.

5-روش بدست آوردن معادله مماس بر دایره در نقطه ای مانند واقع بر دایره به معادله .

الف) با استفاده از مشتق منحنی، مشتق تابع f را بدست می آوریم ب) مقدار مشتق را در نقطه M بدست می آوریم همان شیب خط مماس است.

ج) با استفاده از معادله معادله خط مماس را بدست می آوریم.

مثال: معادله خط مماس بر دایره در نقطه بدست آورید.

تذکر: 1) اگر نقطه M بیرون دایره باشد دو خط مماس از M می توان بر دایره رسم کرد.

2) اگر نقطه M روی محیط دایره باشد فقط یک خط مماس از M می توان بر دایره رسم کرد.

3) اگر نقطه M درون دایره باشد هیچ خط مماس نمی توان بر دایره رسم کرد.

مثال: از کدام از نقاط زیر می توان دو خط مماس بر دایره رسم کرد.

الف) ب) 6-قائم بر دایره: خطی که از یک نقطه مانند M و مرکز دایره عبور کند.

تذکر: برای قائم بر دایره با توجه به اینکه نقطه M نسبت به دایره چه وضعیتی را دارد حالات مختلفی می توان تصور کرد.

الف: اگر نقطه M خارج از یک دایره باشد آنگاه از آن نقطه فقط یک قائم می توان رسم کرد.

مثال: معادله خط مماس و قائم بر دایره در نقطه بنویسید.

ب: اگر نقطه M روی محیط دایره باشد فقط یک قائم می توان بر دایره رسم کرد.

ج: اگر نقطه M درون دایره باشد فقط یک قائم می توان رسم کرد.

د: اگر نقطه M روی مرکز دایره باشد بی نهایت عمود می توان رسم کرد.

مثال: از نقطه می توان بی شمار قائم بر دایره رسم کرد مقدار a+b کدام است؟

مثال: خط به ازای تمام مقادیر m بر دایره قائم است و خط بر دایره مماس است معادله دایره را بدست آورید.

مثال: از نقطه بر دایره چند خط قائم می توان رسم کرد؟

7-اوضاع نسبی دو دایره در صفحه و برای تعداد مماس مشترکهای بین آن دو دایره چهار مماس مشترک متخارج سه مماس مشترک مماس خارج دو مماس مشترک متخارج یک مماس مشترک مماس درون تعداد مماس مشترکها درون هم تعداد مماس مشترکها هم مرز تذکر: فرمولهای محاسبه طول مماس مشترک خارجی و داخلی برای دو دایره بصورت زیر است.

مماس مشترک داخلی مماس مشترک خارجی مثال: کمترین و بیشترین فاصله نقطه از دایره را بدست آورید.

مثال: وضعیت خط از دایره را تعیین کنید.

مثال: تعیین کنید دو دایره به معادله های و چند مماس مشترک با هم دارند.

و طول آنها را بیابید.

بیضی: تعریف: مکان هندسی نقاطی از صفحه است که مجموع فواصل آن نقاط از دو نقطه ثابت برابر مقداری ثابت باشد.

تذکر: آن دو نقطه ثابت را در تعریف کانونهای بیضی می نامند و با F و نمایش می دهند.

تذکر: مقدار ثابت که در تعریف فوق آمده است برابر درنظر گرفته می شود.

تذکر: بیضی در حالت کلی دو نوع می باشد، افقی و قائم.

ولی این دو بیضی دارای ویژگیهای مشترک و مجزا می باشند.

ویژگیها و تعاریف مشترک بین بیضی افقی و قائم به صورت زیر می باشند.

1-محور کانونی: خطی که از دو کانون بیضی عبور می کند و بیضی را قطع می کند محور کانونی می نامند.

2-رئوس کانونی: محل تلاقی محور کانونی با بیضی همان دو رأس کانونی A و می نامند.

3-محور غیرکانونی: اگر خطی را از مرکز بیضی بر محور کانونی عمود کنیم این محور را محور غیرکانونی می نامند.

4-رئوس غیرکانونی: محل تلاقی محور غیرکانونی با محیط بیضی همان دو نقطه B و می باشد که رئوس غیرکانونی می نامند.

5-فاصله کانونی: فاصله بین دو کانون F و را فاصله کانونی می نامند.

6-قطر کانونی: فاصله بین دو رأس کانونی را قطر کانونی یا قطر بزرگ نامند.

7-قطر غیرکانونی: فاصله بین دو رأس غیرکانونی را قطر غیرکانونی یا قطر کوچک نامند 8-اگر مرکز بیضی باشد آنگاه روابط زیر وجود دارد.

(ب (الف (د (ج 9-رابطه مهم بین a و b و c در بیضی بصورت می باشد.

10-فاصله نزدیکترین رأس تا کانون 11-فاصله دورترین رأس تا کانون بیضی افقی: اگر محور کانونی یک بیضی موازی محور xها باشد، آن بیضی را بیضی افقی می نامند.

ویژگیهای بیضی افقی: 1-اگر مرکز بیضی افقی باشد.

آنگاه داریم هم عرضند هم طولند 2-معادله بیضی افقی بصورت زیر است.

تذکر: اگر معادله بیضی در اختیار داشته باشیم که بصورت استاندارد باشد.

آنگاه اگر عدد بزرگتر در مخرج x باشد بیضی افقی است و عدد بزرگتر را و عدد کوچکتر را می نامیم.

3-محورهای تقارن بیضی بصورت است.

مثال: معادله بیضی را بنویسید که کانونهای آن و باشد.

و نقطه یکی از رئوس آن باشد.

مثال: معادله بیضی بنویسید که نقاط و رئوس آن بوده و فاصله کانونی بیضی برابر 4 باشد.

مثال: نقاط و کانونهای یک بیضی باشند و نسبت قطر کوچک به قطر بزرگ بیضی است معادله آن بیضی را بیابید.

مثال: نقاط و کانونهای بیضی می باشند و نقطه یک نقطه از آن بیضی می باشد.

معادله آن بیضی را بدست آورید.

مثال: معادله بیضی را بصورت استاندارد بنویسید.

و تمام مولفه های آن را بدست آورید.

مثال: مولفه های بیضی را بدست آورید.

مثال: نقطه مفروض است.

مکان هندسی نقطه M با تغییر چه شکلی است؟

مثال: طول وتر کانونی برای یک بیضی بدست آورید.

(مهم) مثال: در بیضی به معادله در یکی از