دانلود مقاله ریاضی کاربردی

فرض کنید تحقیقی در مورد گروهی از مریض‌ها انجام می‌شود، به طوری که احتیاج به یک رژیم غذایی دارند که بایستی حداقل 2000 کالری و حداقل 600 واحد ویتامین D مورد لزوم از دو خوراک I و II کسب شود.

هر واحد از خوراک I دارای 40 کالری و 8 واحد ویتامین D است و هر واحد از خوراک II دارای 20 کالری و 12 واحد ویتامین D است در ضمن هزینه هر واحد خوراک I برابر 4 تومان و هزینه هر واحد خوراک II برابر 5 تومان می‌باشد.

مسئله را به صورت یک برنامه‌ریزی خطی مدل‌بندی نمایید به طوری که ضمن کسب حداقل کالری و ویتامین D مورد لزوم مقدار هزینه مینیمم شود.

حل.

تعریف می‌کنیم:
تعداد واحد خوراک نوع I که فرد خریداری می‌کند برای
اطلاعات مسئله را می‌توانیم به صورت یکی از جدولهای زیر خلاصه نماییم:

حداقل مورد نیاز خوراک I خوراک II
2000 20 4 کالری
600 12 8 ویتامین D
5 4 هزینه


هزینه هر واحد ویتامین D کالری
4 8 4 X1تعداد واحد خوراک I
5 12 20 X2 تعداد واحد خوراک II
600 2000 حداقل مورد نیاز

با استفاده از هر کدام از دو جدول فوق، مدل مسئله به صورت زیر قابل بیان است:


در یک کارگاه بشقاب‌سازی بشقاب در دو اندازه کوچک و بزرگ ساخته می‌شود برای ساخت یک بشقاب کوچک، یک دسیمتر مربع ورق استیل 5/1 نفر ساعت کار مورد نیاز است.

در صورتی که برای ساخت یک بشقاب بزرگ دو دسیمتر مربع ورق استیل و 3 نفر کار مورد نیاز است.

فروش هر بشقاب کوچک 30 تومان و فروش هر بشقاب بزرگ 50 تومان سود دارد.

اگر در هفته 400 دسیمتر مربع ورق استیل و 500 نفر ساعت نیروی انسانی در اختیار داشته باشیم و هر تعداد بشقاب از هر نوع که تولید شود به فروش برسد یک مدل ریاضی برای مسئله بنویسید که تعیین کند در هر هفته از هر نوع بشقاب چه تعداد تولید می‌شود تا ضمن رعایت محدودیتهای منابع، سود حاصل از تولید ماکزیمم شود.

تعریف می‌کنیم:
تعداد تولید هفتگی بشقاب نوع کوچک: x1
تعداد تولید هفتگی بشقاب نوع بزرگ: x2
مقدار در دسترس بزرگ کوچک
400 2 1 ورق استیل
500 3 5/1 نیروی انسانی
50 30 سود



در کارخانه‌ای دو نوع کالا تولید می‌شود.

برای تولید هر واحد از نوع اول، 3 ساعت زمان و برای تولید هر واحد از نوع دوم، 2 ساعت زمان لازم است.

کارخانه در 24 ساعت شبانه‌روز کار می‌کند و از طرفی ماده اولیه برای تولید حداکثر 10 واحد کالا از هر نوع داریم.

هرگاه سود کالای نوع اول 400 تومان و سود کالای نوع دوم 300 تومان برای هر واحد باشد.

از هر کالا چه تعدادی در شبانه روز تولید کنیم تا سود حاصل ماکزیمم شود.

یک مدل ریاضی برای بیان مسئله بنویسید.

تعریف می‌کنیم:
تعداد کالای نوع i برای


یک کارخانه تولیدی 5 ماشین رنگ‌کاری و یک ماشین پرس دارد.

این ماشینها برای ساخت دو نوع محصول I و II به کار گرفته می‌شوند.

با ترکیب یک واحد از I و یک واحد از II، یک محصول جدید به نام III‌ به دست می‌آید.

میزان به‌کارگیری هر کدام از این ماشینها برای محصولات I و II در جدول زیر داده شده است.

مدت زمان مورد نیاز (دقیقه)
برای هر واحد
رنگ‌کاری پرس محصول
20
15 3
5 I

II

چگونگی تقسیم کار روی ماشین‌ها را تعیین کنید به طوریکه در مدت 8 ساعت کار، تعداد محصولات نهایی III ماکزیمم گردد.

تعریف می‌کنیم:
تعداد محصولات نوع I: x1
تعداد محصولات نوع II: x2
چون هر واحد از III از ترکیب یک واحد از I و یک واحد از II ساخته می‌شود بنابراین III به اندازه می‌تواند تولید شود که بایستی این مقدار را ماکزیمم نماییم.

چهار فرآورده به طور متوالی روی دو ماشین پردازش می‌شوند.

مدت زمان برای پردازش هر واحد از فرآورده‌ها روی دو ماشین (بر حسب ساعت) در جدول زیر داده شده است:


زمان برای هر واحد (ساعت)
ماشین فرآورده 1 فرآورده 2 فرآورده 3 فراورده 4
1 2 3 4 2
2 3 2 1 2

هزینه کل تولید یک واحد از هر فرآورده مستقیماً با زمان مورد استفاده از ماشین متناسب می‌باشد.

فرض کنید هزینه هر ساعت استفاده از ماشین‌های 1 و 2 به ترتیب برابر 10 و 15 تومان باشد.

کل زمان در نظر گرفته شده برای تمام فرآورده‌ها روی ماشین‌های 1 و 2 برابر 500 و 300 ساعت است.

اگر بهای فروش هر واحد از فرآورده‌های 1 و 2 و 3 و 4 به ترتیب برابر 65، 70، 55 و 45 تومان باشد، برای بیشینه ساختن سود خالص کل، یک مدل ریاضی برای بیان مسئله بنویسید.

تعریف می‌کنیم:
میزان تولید فرآورده i‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌ام برای


تولید کننده‌ای سه مدل (I، II و III) از فرآورده معینی را تولید می‌کند.

او از دو نوع ماده خام (A و B ) که از آنها به ترتیب 2000 و 3000 واحد در دسترس دارد استفاده می‌نماید.

مواد خام مورد نیاز برای هر واحد از سه مدل در زیر داده شده‌اند.

مقدار لازم برای هر واحد از مدل داده شده
ماده خام I II III
A 2 3 5
B 4 2 7

زمان کار مورد نیاز برای هر واحد از مدل I دو برابر زمان کار مدل II و سه برابر زمان کار مدل III می‌باشد.

تمام نیروی کار کارخانه می‌تواند معادل 700 واحد از مدل I تولید کند برآوردی از بازار نشان می‌دهد که کمینه تقاضا برای سه مدل به ترتیب 200 و 200 و 150 واحد می‌باشد با وجود این نسبتهای تعداد واحد تولید شده باید به نسبت 5: 2: 3 باشند.

فرض کنید که سود هر واحد از مدلها به ترتیب برابر با 30 و 20 و 50 تومان باشد.

یک مدل ریاضی برای بیان مسئله بنویسید تا بتوانید تعداد تولید واحدهایی از هر فرآورده را که سود کل را بهینه می‌سازد به دست آورید.

تعریف می‌کنیم:
میزان تولید محصول مدل نوع I برای

توجه داشته باشید که مجموع نسبتهای داده شده برابر 10 است که متغیرهای اول تا سوم به ترتیب نسبتهای 3، 2 و 5 از آن را به خود نسبت می‌دهند.

لذا، مثلاً برای محصول نوع I داریم:

به همین نحو برای محصولهای دوم و سوم یک رابطه مشابه وجود دارد.

فرض کنید مقدار خوراک مورد نیاز در یک مرغداری 100 کیلوگرم در روز باشد.

غذای ویژه باید شامل موارد زیر باشد:
1) کلسیم، حداقل 8/0 درصد و حداکثر 2/1 درصد
2) پروتئین، حداقل 22 درصد
3) الیاف خام، حداکثر 5 درصد
فرض کنید که اجزای ترکیبی مواد غذایی که مورد استفاده قرار می‌گیرند، عبارتند از سنگ آهک، ذرت و آرد سویا.

محتوای غذایی این اجزای ترکیبی در جدول زیر داده شده‌اند.

جزء ترکیبی کلسیم پروتئین الیاف خام هزینه هر کیلو
سنگ آهک 38/0 0 0 4/16
ذرت 001/0 09/0 02/0 3/86
آرد سویا 001/0 5/0 08/0 125

یک مدل ریاضی برای بیان مسئله بنویسید به طوری که مشخص کند از هر جزء ترکیبی چه مقدار در بسته غذایی استفاده گردد تا ماده غذایی مورد نظر با حداقل هزینه تهیه شود، ضمن اینکه احتیاجات غذایی مورد نظر نیز برآورده گردد.

تعریف می‌کنیم:
مقدار سنگ آهک مورد استفاده در بسته صد کیلویی: x1
مقدار ذرت مورد استفاده در بسته صد کیلویی: x2
مقدار آرد سویا مورد استفاده در بسته صد کیلویی: x3
بنابراین مدل برنامه‌ریزی خطی به صورت زیر خواهد بود:
ـ برای کنترل کیفیت حداقل 2500 واحد از یک کالا در مدت 7 ساعت قرار است از تعدادی بازرس از دو گروه A و B استفاده شود.

یک بازرس گروه A در هر ساعت 25 عدد کالا را با دقت 97 درصد کنترل می‌کند و هزینه بازرسی در هر ساعت 400 تومان است.

یک بازرس گروه B در هر ساعت 8 عدد کالا را با دقت 95 درصد کنترل می‌کند و هزینه بازرسی در هر ساعت 350 تومان است.

برای هر واحد کالا که ناقص باشد و از زیر دست بازرسان خارج گردد کارخانه باید 200 تومان جریمه بپردازد.

با فرض آنکه از بازرسیهای گروه A حداکثر 10 نفر و از بازرسهای گروه B حداکثر 11 نفر در دسترس هستند، معین کنید که از هر کدام از بازرسها چه تعدادی به خدمت گرفته شوند تا ضمن مینیمم کردن هزینه پرداختی، کارخانه به هدف مطلوب برسد.

حل.

تعریف می کنیم: تعداد بازرسانی که از گروه A‌ به خدمت گرفته می‌شوند: x1 تعداد بازرسانی که از گروه B به خدمت گرفته می‌شوند: x2 هزینه در این مسئله عبارت است از: هزینه جریمه + هزینه ساعتی هر بازرسی هزینه کارخانه برای یک ساعت از بازرس گروه A عبارت است از: به طور مشابه هزینه کارخانه برای یک ساعت از بازرس گروه B‌ عبارت است از: بنابراین مدل مسئله عبارت است از: ـ شرکتی سه محصول شیمیایی تولید می‌کند.

برای این که محصولی به تولید برسد، می‌بایست از چهار مرحله تولیدی عبور کند.

جدول زیر زمان مورد نیاز هر محصول جهت مرحله‌های مختلف و ظرفیت زمانی هر مرحله را بر حسب دقیق در روز نشان می‌دهد.

چنانچه حداقل تقاضا برای هر محصول به ترتیب 50، 80 و 70 واحد بوده و سود خالص هر واحد محصول به ترتیب 3، 2، 5 باشد، به منظور حداکثر کردن سود کل تولیدات این شرکت، مسئله را به شکل یک مدل برنامه‌ریزی خطی فرموله کنید تا معین کند از هر محصول چه تعدادی تولید شود.

ابتدا می‌بایست متغیرهای تصمیم را تعریف نماییم.

در اینجا می‌خواهیم بدانیم از هر محصول چقدر باید تولید کنیم.

لذا متغیرهای تصمیم به شکل زیر تعریف می‌گردند: X1= تعداد تولید محصول 1 X2= تعداد تولید محصول 2 X3= تعداد تولید محصول 3 و یا به طور خلاصه می‌نویسیم: Xj= میزان (مقدار) تولید از محصول j برای حال با این تعریف تابع هدف ما چنین خواهد بود: که دراینجا z معرف سود کل شرکت می‌باشد.

برای ظرفیت زمانی چهار پروسه تولیدی، چهار محدودیت زیر را خواهیم داشت: برای هر محصول، یک محدودیت حداقل تقاضا وجود دارد لذا خواهیم داشت: نهایتاً چون مقدار منفی برای متغیرهای ما بی‌مفهوم است داریم: (البته باید توجه داشت که در این مسئله، محدودیتهای حداقل تقاضا، ضرورت نوشتن وضعیت متغیرها یعنی را رفع می‌نماید.) لازم به توضیح است که چون xj معرف تعداد تولید محصولی خاص است لذا شرط صحیح بودن برای متغیرهای تصمیم نیز بایستی در نظر گرفته شود.

اما معمولاً به جز در مسائلی که شرط صحیح بودن الزامی است از نوشتن این شرط صرف‌نظر می‌شود و در عمل اگر پس از حل مسئله و تعیین جوابی که بهترین مقدار را به تابع هدف می‌دهد مقدار متغیری مثلاً به صورت x=3.5 محصول در یک دوره زمانی است، آن را به صورت x=35 محصول در ده دوره زمانی تعبیر می‌نماییم.

نکته: سعی کنید در مسائلی که فرموله می‌کنید نکات زیر رعایت گردند.

1.

بین تابع هدف و محدودیتهای از یکی از کلمات «به طوری که»، «تحت شرایط»، «با قیود»، «مشروط به این که»، «Subject to» یا به طور خلاصه «S.

t.» استفاده نمایید.

2.

متغیرها را به شکل مرتب در تابع هدف و محدودیتها، زیر هم بنویسید.

3.

در محدودیت‌ها، متغیرها در سمت چپ نامساوی و مقادیر ثابت در سمت راست نامساوی قرار بگیرند.

4.

هر محدودیت صرفاً دارای یک علامت مساوی یا نامساوی ( و ) باشد.

ـ چهار محصول به طور متوالی به وسیله دو ماشین ساخته می‌شوند.

زمان تولید برای ساخت هر محصول در هر ماشین بر حسب ساعت در جدول زیر مشخص شده است: کل هزینه تولید هر واحد محصول بر اساس زمانی است که ماشین برای تولید آن مصرف می‌کند.

فرض کنید که هزینه هر ساعت کار ماشین 1 و 2 به ترتیب 10 و 15 واحد پول قراردادی است.

کل ساعاتی که برای تولید تمام محصولات روی ماشینهای 1 و 2 در نظر گرفته شده است 500 و 380 ساعت می‌باشد.

اگر قیمت فروش هر واحد محصول 1 و 2 و 3 و 4 به ترتیب 65 و 70 و 55 و 45 واحد پول قراردادی باشد، مسئله را به صورت یک مدل برنامه‌ریزی خطی که کل سود را ماکزیمم سازد فرموله کنید.

قبل از هر عملی اطلاعات داده شده برای مسئله را در جدول زیر خلاصه می‌کنیم: در این جدول برای محاسبه سود خالص هر واحد محصول، هزینه کل تولید را از قیمت فروش آن کسر کرده‌ایم به عنوان نمونه